微分積分学準備例

$\csc (x) = 16 \sin (x)$

ステップ 1

$\csc (x) = 16 \sin (x)$ の各項を $\csc (x)$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.1

$\csc (x) = 16 \sin (x)$ の各項を $\csc (x)$ で割ります。

$\frac{\csc (x)}{\csc (x)} = \frac{16 \sin (x)}{\csc (x)}$

ステップ 1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.1

$\csc (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{\csc (x)}{\csc (x)} = \frac{16 \sin (x)}{\csc (x)}$

ステップ 1.2.1.2

式を書き換えます。

$1 = \frac{16 \sin (x)}{\csc (x)}$

ステップ 1.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.3.1

分数を分解します。

$1 = \frac{16}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\csc (x)}$

ステップ 1.3.2

正弦と余弦に関して $\csc (x)$ を書き換えます。

$1 = \frac{16}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\frac{1}{\sin (x)}}$

ステップ 1.3.3

分数の逆数を掛け、 $\frac{1}{\sin (x)}$ で割ります。

$1 = \frac{16}{1} (\sin (x) \sin (x))$

ステップ 1.3.4

簡約します。

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ステップ 1.3.4.1

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$1 = \frac{16}{1} (\sin^{1} (x) \sin (x))$

ステップ 1.3.4.2

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$1 = \frac{16}{1} (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))$

ステップ 1.3.4.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$1 = \frac{16}{1} {\sin (x)}^{1 + 1}$

ステップ 1.3.4.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$1 = \frac{16}{1} \sin^{2} (x)$

ステップ 1.3.5

$16$ を $1$ で割ります。

$1 = 16 \sin^{2} (x)$

ステップ 2

方程式を $16 \sin^{2} (x) = 1$ として書き換えます。

$16 \sin^{2} (x) = 1$

ステップ 3

$16 \sin^{2} (x) = 1$ の各項を $16$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.1

$16 \sin^{2} (x) = 1$ の各項を $16$ で割ります。

$\frac{16 \sin^{2} (x)}{16} = \frac{1}{16}$

ステップ 3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

$16$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{16 \sin^{2} (x)}{16} = \frac{1}{16}$

ステップ 3.2.1.2

$\sin^{2} (x)$ を $1$ で割ります。

$\sin^{2} (x) = \frac{1}{16}$

ステップ 4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{16}}$

ステップ 5

$\pm \sqrt{\frac{1}{16}}$ を簡約します。

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ステップ 5.1

$\sqrt{\frac{1}{16}}$ を $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{16}}$ に書き換えます。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{16}}$

ステップ 5.2

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$\sin (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{16}}$

ステップ 5.3

分母を簡約します。

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ステップ 5.3.1

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$\sin (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{4^{2}}}$

ステップ 5.3.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\sin (x) = \pm \frac{1}{4}$

ステップ 6

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 6.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$\sin (x) = \frac{1}{4}$

ステップ 6.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$\sin (x) = - \frac{1}{4}$

ステップ 6.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$\sin (x) = \frac{1}{4}, - \frac{1}{4}$

ステップ 7

各解を求め、 $x$ を解きます。

$\sin (x) = \frac{1}{4}$

$\sin (x) = - \frac{1}{4}$

ステップ 8

$\sin (x) = \frac{1}{4}$ の $x$ について解きます。

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ステップ 8.1

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arcsin (\frac{1}{4})$

ステップ 8.2

右辺を簡約します。

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ステップ 8.2.1

$\arcsin (\frac{1}{4})$ の値を求めます。

$x = 0.25268025$

ステップ 8.3

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$x = (3.14159265) - 0.25268025$

ステップ 8.4

$x$ について解きます。

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ステップ 8.4.1

括弧を削除します。

$x = 3.14159265 - 0.25268025$

ステップ 8.4.2

括弧を削除します。

$x = (3.14159265) - 0.25268025$

ステップ 8.4.3

$3.14159265$ から $0.25268025$ を引きます。

$x = 2.88891239$

ステップ 8.5

$\sin (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 8.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 8.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 8.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 8.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 8.6

$\sin (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 0.25268025 + 2 π n, 2.88891239 + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 9

$\sin (x) = - \frac{1}{4}$ の $x$ について解きます。

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ステップ 9.1

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arcsin (- \frac{1}{4})$

ステップ 9.2

右辺を簡約します。

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ステップ 9.2.1

$\arcsin (- \frac{1}{4})$ の値を求めます。

$x = - 0.25268025$

ステップ 9.3

正弦関数は、第三象限と第四象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から解を引き、参照角を求めます。次に、この参照角を $π$ に足し、第三象限で解を求めます。

$x = 2 (3.14159265) + 0.25268025 + 3.14159265$

ステップ 9.4

式を簡約し、2番目の解を求めます。

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ステップ 9.4.1

$2 (3.14159265) + 0.25268025 + 3.14159265$ から $2 π$ を引きます。

$x = 2 (3.14159265) + 0.25268025 + 3.14159265 - 2 π$

ステップ 9.4.2

$3.3942729$ の結果の角度は正で、 $2 π$ より小さく、 $2 (3.14159265) + 0.25268025 + 3.14159265$ と隣接します。

$x = 3.3942729$

ステップ 9.5

$\sin (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 9.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 9.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 9.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 9.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 9.6

$2 π$ を各負の角に足し、正の角を得ます。

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ステップ 9.6.1

$2 π$ を $- 0.25268025$ に足し、正の角を求めます。

$- 0.25268025 + 2 π$

ステップ 9.6.2

$2 π$ から $0.25268025$ を引きます。

$6.03050505$

ステップ 9.6.3

新しい角をリストします。

$x = 6.03050505$

ステップ 9.7

$\sin (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 3.3942729 + 2 π n, 6.03050505 + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 10

すべての解をまとめます。

$x = 0.25268025 + 2 π n, 2.88891239 + 2 π n, 3.3942729 + 2 π n, 6.03050505 + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 11

解をまとめます。

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ステップ 11.1

$3.3942729 + 2 π n$ と $0.25268025 + π n$ を $0.25268025 + 2 π n$ にまとめます。

$x = 0.25268025 + π n, 2.88891239 + 2 π n, 6.03050505 + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 11.2

$6.03050505 + 2 π n$ と $2.88891239 + π n$ を $2.88891239 + 2 π n$ にまとめます。

$x = 0.25268025 + π n, 2.88891239 + π n$ 、任意の整数 $n$

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