微分積分学準備例

$\cos (2 x) - \sqrt{3} \sin (x) = 1$

ステップ 1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$\cos (2 x) - \sqrt{3} \sin (x) - 1 = 0$

ステップ 2

方程式の左辺を簡約します。

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ステップ 2.1

2倍角の公式を利用して $\cos (2 x)$ を $1 - 2 \sin^{2} (x)$ に変換します。

$1 - 2 \sin^{2} (x) - \sqrt{3} \sin (x) - 1 = 0$

ステップ 2.2

$1 - 2 \sin^{2} (x) - \sqrt{3} \sin (x) - 1$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 2.2.1

$1$ から $1$ を引きます。

$0 - 2 \sin^{2} (x) - \sqrt{3} \sin (x) = 0$

ステップ 2.2.2

$0$ から $2 \sin^{2} (x)$ を引きます。

$- 2 \sin^{2} (x) - \sqrt{3} \sin (x) = 0$

ステップ 3

$\sin (x)$ を $- 2 \sin^{2} (x) - \sqrt{3} \sin (x)$ で因数分解します。

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ステップ 3.1

$\sin (x)$ を $- 2 \sin^{2} (x)$ で因数分解します。

$\sin (x) (- 2 \sin (x)) - \sqrt{3} \sin (x) = 0$

ステップ 3.2

$\sin (x)$ を $- \sqrt{3} \sin (x)$ で因数分解します。

$\sin (x) (- 2 \sin (x)) + \sin (x) (- \sqrt{3}) = 0$

ステップ 3.3

$\sin (x)$ を $\sin (x) (- 2 \sin (x)) + \sin (x) (- \sqrt{3})$ で因数分解します。

$\sin (x) (- 2 \sin (x) - \sqrt{3}) = 0$

ステップ 4

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$\sin (x) = 0$

$- 2 \sin (x) - \sqrt{3} = 0$

ステップ 5

$\sin (x)$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.1

$\sin (x)$ が $0$ に等しいとします。

$\sin (x) = 0$

ステップ 5.2

$x$ について $\sin (x) = 0$ を解きます。

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ステップ 5.2.1

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arcsin (0)$

ステップ 5.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$\arcsin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 5.2.3

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$x = π - 0$

ステップ 5.2.4

$π$ から $0$ を引きます。

$x = π$

ステップ 5.2.5

$\sin (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 5.2.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 5.2.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 5.2.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 5.2.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 5.2.6

$\sin (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 2 π n, π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 6

$- 2 \sin (x) - \sqrt{3}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 6.1

$- 2 \sin (x) - \sqrt{3}$ が $0$ に等しいとします。

$- 2 \sin (x) - \sqrt{3} = 0$

ステップ 6.2

$x$ について $- 2 \sin (x) - \sqrt{3} = 0$ を解きます。

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ステップ 6.2.1

方程式の両辺に $\sqrt{3}$ を足します。

$- 2 \sin (x) = \sqrt{3}$

ステップ 6.2.2

$- 2 \sin (x) = \sqrt{3}$ の各項を $- 2$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.2.2.1

$- 2 \sin (x) = \sqrt{3}$ の各項を $- 2$ で割ります。

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{\sqrt{3}}{- 2}$

ステップ 6.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.2.2.2.1

$- 2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{\sqrt{3}}{- 2}$

ステップ 6.2.2.2.1.2

$\sin (x)$ を $1$ で割ります。

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{- 2}$

ステップ 6.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 6.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 6.2.3

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

ステップ 6.2.4

右辺を簡約します。

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ステップ 6.2.4.1

$\arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ の厳密値は $- \frac{π}{3}$ です。

$x = - \frac{π}{3}$

ステップ 6.2.5

正弦関数は、第三象限と第四象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から解を引き、参照角を求めます。次に、この参照角を $π$ に足し、第三象限で解を求めます。

$x = 2 π + \frac{π}{3} + π$

ステップ 6.2.6

式を簡約し、2番目の解を求めます。

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ステップ 6.2.6.1

$2 π + \frac{π}{3} + π$ から $2 π$ を引きます。

$x = 2 π + \frac{π}{3} + π - 2 π$

ステップ 6.2.6.2

$\frac{4 π}{3}$ の結果の角度は正で、 $2 π$ より小さく、 $2 π + \frac{π}{3} + π$ と隣接します。

$x = \frac{4 π}{3}$

ステップ 6.2.7

$\sin (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 6.2.7.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 6.2.7.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 6.2.7.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 6.2.7.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 6.2.8

$2 π$ を各負の角に足し、正の角を得ます。

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ステップ 6.2.8.1

$2 π$ を $- \frac{π}{3}$ に足し、正の角を求めます。

$- \frac{π}{3} + 2 π$

ステップ 6.2.8.2

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

ステップ 6.2.8.3

分数をまとめます。

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ステップ 6.2.8.3.1

$2 π$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

ステップ 6.2.8.3.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

ステップ 6.2.8.4

分子を簡約します。

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ステップ 6.2.8.4.1

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{6 π - π}{3}$

ステップ 6.2.8.4.2

$6 π$ から $π$ を引きます。

$\frac{5 π}{3}$

ステップ 6.2.8.5

新しい角をリストします。

$x = \frac{5 π}{3}$

ステップ 6.2.9

$\sin (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 7

最終解は $\sin (x) (- 2 \sin (x) - \sqrt{3}) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 8

$π + 2 π n$ と $π n$ を $2 π n$ にまとめます。

$x = π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

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