微分積分学準備例

$\frac{6}{x - 1} - \frac{6}{x} \geq 1$

ステップ 1

$\frac{6}{x - 1} - \frac{6}{x}$ を簡約します。

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ステップ 1.1

$\frac{6}{x - 1}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x}{x}$ を掛けます。

$\frac{6}{x - 1} \cdot \frac{x}{x} - \frac{6}{x} \geq 1$

ステップ 1.2

$- \frac{6}{x}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x - 1}{x - 1}$ を掛けます。

$\frac{6}{x - 1} \cdot \frac{x}{x} - \frac{6}{x} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} \geq 1$

ステップ 1.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(x - 1) x$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 1.3.1

$\frac{6}{x - 1}$ に $\frac{x}{x}$ をかけます。

$\frac{6 x}{(x - 1) x} - \frac{6}{x} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} \geq 1$

ステップ 1.3.2

$\frac{6}{x}$ に $\frac{x - 1}{x - 1}$ をかけます。

$\frac{6 x}{(x - 1) x} - \frac{6 (x - 1)}{x (x - 1)} \geq 1$

ステップ 1.3.3

$(x - 1) x$ の因数を並べ替えます。

$\frac{6 x}{x (x - 1)} - \frac{6 (x - 1)}{x (x - 1)} \geq 1$

ステップ 1.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{6 x - 6 (x - 1)}{x (x - 1)} \geq 1$

ステップ 1.5

分子を簡約します。

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ステップ 1.5.1

$6$ を $6 x - 6 (x - 1)$ で因数分解します。

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ステップ 1.5.1.1

$6$ を $6 x$ で因数分解します。

$\frac{6 (x) - 6 (x - 1)}{x (x - 1)} \geq 1$

ステップ 1.5.1.2

$6$ を $- 6 (x - 1)$ で因数分解します。

$\frac{6 (x) + 6 (- (x - 1))}{x (x - 1)} \geq 1$

ステップ 1.5.1.3

$6$ を $6 (x) + 6 (- (x - 1))$ で因数分解します。

$\frac{6 (x - (x - 1))}{x (x - 1)} \geq 1$

ステップ 1.5.2

分配則を当てはめます。

$\frac{6 (x - x - - 1)}{x (x - 1)} \geq 1$

ステップ 1.5.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{6 (x - x + 1)}{x (x - 1)} \geq 1$

ステップ 1.5.4

$x$ から $x$ を引きます。

$\frac{6 (0 + 1)}{x (x - 1)} \geq 1$

ステップ 1.5.5

$0$ と $1$ をたし算します。

$\frac{6 \cdot 1}{x (x - 1)} \geq 1$

ステップ 1.6

$6$ に $1$ をかけます。

$\frac{6}{x (x - 1)} \geq 1$

ステップ 2

両辺に $x (x - 1)$ を掛けます。

$\frac{6}{x (x - 1)} (x (x - 1)) = 1 (x (x - 1))$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

左辺を簡約します。

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ステップ 3.1.1

$x (x - 1)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{6}{x (x - 1)} (x (x - 1)) = 1 (x (x - 1))$

ステップ 3.1.1.2

式を書き換えます。

$6 = 1 (x (x - 1))$

ステップ 3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

$1 (x (x - 1))$ を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

両辺を掛けて簡約します。

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ステップ 3.2.1.1.1

$x (x - 1)$ に $1$ をかけます。

$6 = x (x - 1)$

ステップ 3.2.1.1.2

分配則を当てはめます。

$6 = x \cdot x + x \cdot - 1$

ステップ 3.2.1.1.3

式を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1.3.1

$x$ に $x$ をかけます。

$6 = x^{2} + x \cdot - 1$

ステップ 3.2.1.1.3.2

$- 1$ を $x$ の左に移動させます。

$6 = x^{2} - 1 \cdot x$

ステップ 3.2.1.2

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$6 = x^{2} - x$

ステップ 4

$x$ について解きます。

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ステップ 4.1

方程式を $x^{2} - x = 6$ として書き換えます。

$x^{2} - x = 6$

ステップ 4.2

方程式の両辺から $6$ を引きます。

$x^{2} - x - 6 = 0$

ステップ 4.3

たすき掛けを利用して $x^{2} - x - 6$ を因数分解します。

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ステップ 4.3.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 6$ で、その和が $- 1$ です。

$- 3, 2$

ステップ 4.3.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x - 3) (x + 2) = 0$

ステップ 4.4

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 3 = 0$

$x + 2 = 0$

ステップ 4.5

$x - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.5.1

$x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x - 3 = 0$

ステップ 4.5.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 4.6

$x + 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.6.1

$x + 2$ が $0$ に等しいとします。

$x + 2 = 0$

ステップ 4.6.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x = - 2$

ステップ 4.7

最終解は $(x - 3) (x + 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 3, - 2$

ステップ 5

$\frac{6}{x (x - 1)} - 1$ の定義域を求めます。

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ステップ 5.1

$\frac{6}{x (x - 1)}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x (x - 1) = 0$

ステップ 5.2

$x$ について解きます。

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ステップ 5.2.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x - 1 = 0$

ステップ 5.2.2

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 5.2.3

$x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.2.3.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 5.2.3.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 5.2.4

最終解は $x (x - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 1$

ステップ 5.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

ステップ 6

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 2$

$- 2 < x < 0$

$0 < x < 1$

$1 < x < 3$

$x > 3$

ステップ 7

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 7.1

区間 $x < - 2$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 7.1.1

区間 $x < - 2$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 4$

ステップ 7.1.2

$x$ を元の不等式の $- 4$ で置き換えます。

$\frac{6}{(- 4) - 1} - \frac{6}{- 4} \geq 1$

ステップ 7.1.3

左辺 $0.3$ は右辺 $1$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 7.2

区間 $- 2 < x < 0$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 7.2.1

区間 $- 2 < x < 0$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 1$

ステップ 7.2.2

$x$ を元の不等式の $- 1$ で置き換えます。

$\frac{6}{(- 1) - 1} - \frac{6}{- 1} \geq 1$

ステップ 7.2.3

左辺 $3$ は右辺 $1$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 7.3

区間 $0 < x < 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 7.3.1

区間 $0 < x < 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0.5$

ステップ 7.3.2

$x$ を元の不等式の $0.5$ で置き換えます。

$\frac{6}{(0.5) - 1} - \frac{6}{0.5} \geq 1$

ステップ 7.3.3

左辺 $- 24$ は右辺 $1$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 7.4

区間 $1 < x < 3$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 7.4.1

区間 $1 < x < 3$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 2$

ステップ 7.4.2

$x$ を元の不等式の $2$ で置き換えます。

$\frac{6}{(2) - 1} - \frac{6}{2} \geq 1$

ステップ 7.4.3

左辺 $3$ は右辺 $1$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 7.5

区間 $x > 3$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 7.5.1

区間 $x > 3$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 6$

ステップ 7.5.2

$x$ を元の不等式の $6$ で置き換えます。

$\frac{6}{(6) - 1} - \frac{6}{6} \geq 1$

ステップ 7.5.3

左辺 $0.2$ は右辺 $1$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 7.6

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 2$ 偽

$- 2 < x < 0$ 真

$0 < x < 1$ 偽

$1 < x < 3$ 真

$x > 3$ 偽

$x < - 2$ 偽

$- 2 < x < 0$ 真

$0 < x < 1$ 偽

$1 < x < 3$ 真

$x > 3$ 偽

ステップ 8

解はすべての真の区間からなります。

$- 2 \leq x < 0$ または $1 < x \leq 3$

ステップ 9

不等式を区間記号に変換します。

$[- 2, 0) \cup (1, 3]$

ステップ 10

微分積分学準備 例

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