微分積分学準備例

$\cos (x) + 1 = \sin (x)$

ステップ 1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$\cos (x) = \sin (x) - 1$

ステップ 2

方程式の両辺を2乗します。

$\cos^{2} (x) = {(\sin (x) - 1)}^{2}$

ステップ 3

${(\sin (x) - 1)}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 3.1

${(\sin (x) - 1)}^{2}$ を $(\sin (x) - 1) (\sin (x) - 1)$ に書き換えます。

$\cos^{2} (x) = (\sin (x) - 1) (\sin (x) - 1)$

ステップ 3.2

分配法則（FOIL法）を使って $(\sin (x) - 1) (\sin (x) - 1)$ を展開します。

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ステップ 3.2.1

分配則を当てはめます。

$\cos^{2} (x) = \sin (x) (\sin (x) - 1) - 1 (\sin (x) - 1)$

ステップ 3.2.2

分配則を当てはめます。

$\cos^{2} (x) = \sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cdot - 1 - 1 (\sin (x) - 1)$

ステップ 3.2.3

分配則を当てはめます。

$\cos^{2} (x) = \sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cdot - 1 - 1 \sin (x) - 1 \cdot - 1$

ステップ 3.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 3.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.3.1.1

$\sin (x) \sin (x)$ を掛けます。

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ステップ 3.3.1.1.1

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\cos^{2} (x) = \sin^{1} (x) \sin (x) + \sin (x) \cdot - 1 - 1 \sin (x) - 1 \cdot - 1$

ステップ 3.3.1.1.2

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\cos^{2} (x) = \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + \sin (x) \cdot - 1 - 1 \sin (x) - 1 \cdot - 1$

ステップ 3.3.1.1.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\cos^{2} (x) = {\sin (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \cdot - 1 - 1 \sin (x) - 1 \cdot - 1$

ステップ 3.3.1.1.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\cos^{2} (x) = \sin^{2} (x) + \sin (x) \cdot - 1 - 1 \sin (x) - 1 \cdot - 1$

ステップ 3.3.1.2

$- 1$ を $\sin (x)$ の左に移動させます。

$\cos^{2} (x) = \sin^{2} (x) - 1 \cdot \sin (x) - 1 \sin (x) - 1 \cdot - 1$

ステップ 3.3.1.3

$- 1 \sin (x)$ を $- \sin (x)$ に書き換えます。

$\cos^{2} (x) = \sin^{2} (x) - \sin (x) - 1 \sin (x) - 1 \cdot - 1$

ステップ 3.3.1.4

$- 1 \sin (x)$ を $- \sin (x)$ に書き換えます。

$\cos^{2} (x) = \sin^{2} (x) - \sin (x) - \sin (x) - 1 \cdot - 1$

ステップ 3.3.1.5

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\cos^{2} (x) = \sin^{2} (x) - \sin (x) - \sin (x) + 1$

ステップ 3.3.2

$- \sin (x)$ から $\sin (x)$ を引きます。

$\cos^{2} (x) = \sin^{2} (x) - 2 \sin (x) + 1$

ステップ 4

すべての式を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 4.1

方程式の両辺から $\sin^{2} (x)$ を引きます。

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) = - 2 \sin (x) + 1$

ステップ 4.2

方程式の両辺に $2 \sin (x)$ を足します。

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) = 1$

ステップ 4.3

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) - 1 = 0$

ステップ 5

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) - 1$ を簡約します。

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ステップ 5.1

$- 1$ を移動させます。

$\cos^{2} (x) - 1 - \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) = 0$

ステップ 5.2

$\cos^{2} (x)$ と $- 1$ を並べ替えます。

$- 1 + \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) = 0$

ステップ 5.3

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$- 1 (1) + \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) = 0$

ステップ 5.4

$- 1$ を $\cos^{2} (x)$ で因数分解します。

$- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x)) - \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) = 0$

ステップ 5.5

$- 1$ を $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))$ で因数分解します。

$- 1 (1 - \cos^{2} (x)) - \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) = 0$

ステップ 5.6

$- 1 (1 - \cos^{2} (x))$ を $- (1 - \cos^{2} (x))$ に書き換えます。

$- (1 - \cos^{2} (x)) - \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) = 0$

ステップ 5.7

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$- \sin^{2} (x) - \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) = 0$

ステップ 5.8

$- \sin^{2} (x)$ から $\sin^{2} (x)$ を引きます。

$- 2 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) = 0$

ステップ 6

$x$ について解きます。

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ステップ 6.1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 6.1.1

$u = \sin (x)$ とします。 $u$ を $\sin (x)$ に代入します。

$- 2 u^{2} + 2 u = 0$

ステップ 6.1.2

$2 u$ を $- 2 u^{2} + 2 u$ で因数分解します。

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ステップ 6.1.2.1

$2 u$ を $- 2 u^{2}$ で因数分解します。

$2 u (- u) + 2 u = 0$

ステップ 6.1.2.2

$2 u$ を $2 u$ で因数分解します。

$2 u (- u) + 2 u (1) = 0$

ステップ 6.1.2.3

$2 u$ を $2 u (- u) + 2 u (1)$ で因数分解します。

$2 u (- u + 1) = 0$

ステップ 6.1.3

$u$ のすべての発生を $\sin (x)$ で置き換えます。

$2 \sin (x) (- \sin (x) + 1) = 0$

ステップ 6.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$\sin (x) = 0$

$- \sin (x) + 1 = 0$

ステップ 6.3

$\sin (x)$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 6.3.1

$\sin (x)$ が $0$ に等しいとします。

$\sin (x) = 0$

ステップ 6.3.2

$x$ について $\sin (x) = 0$ を解きます。

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ステップ 6.3.2.1

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arcsin (0)$

ステップ 6.3.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 6.3.2.2.1

$\arcsin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 6.3.2.3

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$x = π - 0$

ステップ 6.3.2.4

$π$ から $0$ を引きます。

$x = π$

ステップ 6.3.2.5

$\sin (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 6.3.2.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 6.3.2.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 6.3.2.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 6.3.2.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 6.3.2.6

$\sin (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 2 π n, π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 6.4

$- \sin (x) + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 6.4.1

$- \sin (x) + 1$ が $0$ に等しいとします。

$- \sin (x) + 1 = 0$

ステップ 6.4.2

$x$ について $- \sin (x) + 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 6.4.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$- \sin (x) = - 1$

ステップ 6.4.2.2

$- \sin (x) = - 1$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.4.2.2.1

$- \sin (x) = - 1$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- \sin (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 6.4.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.4.2.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{\sin (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 6.4.2.2.2.2

$\sin (x)$ を $1$ で割ります。

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 6.4.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 6.4.2.2.3.1

$- 1$ を $- 1$ で割ります。

$\sin (x) = 1$

ステップ 6.4.2.3

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arcsin (1)$

ステップ 6.4.2.4

右辺を簡約します。

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ステップ 6.4.2.4.1

$\arcsin (1)$ の厳密値は $\frac{π}{2}$ です。

$x = \frac{π}{2}$

ステップ 6.4.2.5

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$x = π - \frac{π}{2}$

ステップ 6.4.2.6

$π - \frac{π}{2}$ を簡約します。

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ステップ 6.4.2.6.1

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 6.4.2.6.2

分数をまとめます。

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ステップ 6.4.2.6.2.1

$π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 6.4.2.6.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

ステップ 6.4.2.6.3

分子を簡約します。

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ステップ 6.4.2.6.3.1

$2$ を $π$ の左に移動させます。

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

ステップ 6.4.2.6.3.2

$2 π$ から $π$ を引きます。

$x = \frac{π}{2}$

ステップ 6.4.2.7

$\sin (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 6.4.2.7.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 6.4.2.7.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 6.4.2.7.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 6.4.2.7.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 6.4.2.8

$\sin (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 6.5

最終解は $2 \sin (x) (- \sin (x) + 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{2} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 7

$π + 2 π n$ と $π n$ を $2 π n$ にまとめます。

$x = π n, \frac{π}{2} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 8

$\cos (x) + 1 = \sin (x)$ が真にならない解を除外します。

$x = 1.57079632, 3.14159265, 7.85398163, 9.42477796, 14.13716694, 15.70796326, 20.42035224, 21.99114857, 26.70353755, 32.98672286, 39.26990816, 45.55309347$ 、任意の整数 $n$

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