微分積分学準備例

$\cos (x) = \sqrt{\frac{1}{2}}$

ステップ 1

$\sqrt{\frac{1}{2}}$ を簡約します。

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ステップ 1.1

$\sqrt{\frac{1}{2}}$ を $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ に書き換えます。

$\cos (x) = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

ステップ 1.2

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$\cos (x) = \frac{1}{\sqrt{2}}$

ステップ 1.3

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$\cos (x) = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

ステップ 1.4

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 1.4.1

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

ステップ 1.4.2

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

ステップ 1.4.3

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

ステップ 1.4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

ステップ 1.4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

ステップ 1.4.6

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

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ステップ 1.4.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 1.4.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 1.4.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 1.4.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.6.4.1

共通因数を約分します。

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 1.4.6.4.2

式を書き換えます。

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

ステップ 1.4.6.5

指数を求めます。

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 2

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$

ステップ 3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.1

$\arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$ の厳密値は $\frac{π}{4}$ です。

$x = \frac{π}{4}$

ステップ 4

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$x = 2 π - \frac{π}{4}$

ステップ 5

$2 π - \frac{π}{4}$ を簡約します。

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ステップ 5.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

ステップ 5.2

分数をまとめます。

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ステップ 5.2.1

$2 π$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

ステップ 5.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

ステップ 5.3

分子を簡約します。

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ステップ 5.3.1

$4$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{8 π - π}{4}$

ステップ 5.3.2

$8 π$ から $π$ を引きます。

$x = \frac{7 π}{4}$

ステップ 6

$\cos (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 6.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 6.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 6.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 6.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 7

$\cos (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

微分積分学準備 例

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