微分積分学準備例

$9 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 10 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + {(x + 1)}^{\frac{5}{2}} = 0$

ステップ 1

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ を $9 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 10 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ を $9 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 9 - 10 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + {(x + 1)}^{\frac{5}{2}} = 0$

ステップ 1.1.2

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ を $- 10 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ で因数分解します。

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 9 + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 10 {(x + 1)}^{\frac{2}{2}}) + {(x + 1)}^{\frac{5}{2}} = 0$

ステップ 1.1.3

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ を ${(x + 1)}^{\frac{5}{2}}$ で因数分解します。

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 9 + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 10 {(x + 1)}^{\frac{2}{2}}) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{\frac{4}{2}} = 0$

ステップ 1.1.4

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ を ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 9 + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 10 {(x + 1)}^{\frac{2}{2}})$ で因数分解します。

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot (9 - 10 {(x + 1)}^{\frac{2}{2}}) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{\frac{4}{2}} = 0$

ステップ 1.1.5

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ を ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot (9 - 10 {(x + 1)}^{\frac{2}{2}}) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{\frac{4}{2}}$ で因数分解します。

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (9 - 10 {(x + 1)}^{\frac{2}{2}} + {(x + 1)}^{\frac{4}{2}}) = 0$

ステップ 1.2

たすき掛けを利用して $9 - 10 {(x + 1)}^{\frac{2}{2}} + {(x + 1)}^{\frac{4}{2}}$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $9$ で、その和が $- 10$ です。

$- 9, - 1$

ステップ 1.2.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (({(x + 1)}^{\frac{2}{2}} - 9) ({(x + 1)}^{\frac{2}{2}} - 1)) = 0$

ステップ 1.3

${(x + 1)}^{\frac{2}{2}}$ を ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ に書き換えます。

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (({({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 9) ({(x + 1)}^{\frac{2}{2}} - 1)) = 0$

ステップ 1.4

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (({({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 3^{2}) ({(x + 1)}^{\frac{2}{2}} - 1)) = 0$

ステップ 1.5

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ であり、 $b = 3$ です。

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 3) ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 3) ({(x + 1)}^{\frac{2}{2}} - 1)) = 0$

ステップ 1.6

${(x + 1)}^{\frac{2}{2}}$ を ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ に書き換えます。

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 3) ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 3) ({({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 1)) = 0$

ステップ 1.7

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 3) ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 3) ({({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 1^{2})) = 0$

ステップ 1.8

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.8.1

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.8.1.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ であり、 $b = 1$ です。

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 3) ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 3) (({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 1) ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1))) = 0$

ステップ 1.8.1.2

不要な括弧を削除します。

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 3) ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 3) ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 1) ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1)) = 0$

ステップ 1.8.2

不要な括弧を削除します。

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 3) ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 3) ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 1) ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) = 0$

ステップ 2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} = 0$

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 3 = 0$

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 3 = 0$

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 1 = 0$

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1 = 0$

ステップ 3

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.1

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ が $0$ に等しいとします。

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} = 0$

ステップ 3.2

$x$ について ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

ステップ 3.2.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 4

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 3$ が $0$ に等しいとします。

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 3 = 0$

ステップ 4.2

$x$ について ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 3 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

方程式の両辺から $3$ を引きます。

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} = - 3$

ステップ 4.2.2

方程式の両辺を $2$ 乗し、左辺の分数指数を消去します。

${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

ステップ 4.2.3

指数を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1.1

${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1.1.1

${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 3)}^{2}$

ステップ 4.2.3.1.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 3)}^{2}$

ステップ 4.2.3.1.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(x + 1)}^{1} = {(- 3)}^{2}$

ステップ 4.2.3.1.1.2

簡約します。

$x + 1 = {(- 3)}^{2}$

ステップ 4.2.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.2.1

$- 3$ を $2$ 乗します。

$x + 1 = 9$

ステップ 4.2.4

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = 9 - 1$

ステップ 4.2.4.2

$9$ から $1$ を引きます。

$x = 8$

ステップ 5

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 1$ が $0$ に等しいとします。

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 1 = 0$

ステップ 5.2

$x$ について ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 1 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} = - 1$

ステップ 5.2.2

方程式の両辺を $2$ 乗し、左辺の分数指数を消去します。

${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

ステップ 5.2.3

指数を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1.1

${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1.1.1

${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 1)}^{2}$

ステップ 5.2.3.1.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 1)}^{2}$

ステップ 5.2.3.1.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(x + 1)}^{1} = {(- 1)}^{2}$

ステップ 5.2.3.1.1.2

簡約します。

$x + 1 = {(- 1)}^{2}$

ステップ 5.2.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.2.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$x + 1 = 1$

ステップ 5.2.4

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = 1 - 1$

ステップ 5.2.4.2

$1$ から $1$ を引きます。

$x = 0$

ステップ 6

最終解は ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 3) ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 3) ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 1) ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 1, 8, 0$

微分積分学準備 例

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