微分積分学準備例

$9 (9^{x}) - 10 \cdot 3^{x} + 1 = 0$

ステップ 1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 1.1

$9^{x}$ を ${(3^{2})}^{x}$ に書き換えます。

$9 \cdot {(3^{2})}^{x} - 10 \cdot 3^{x} + 1 = 0$

ステップ 1.2

${(3^{2})}^{x}$ を ${(3^{x})}^{2}$ に書き換えます。

$9 \cdot {(3^{x})}^{2} - 10 \cdot 3^{x} + 1 = 0$

ステップ 1.3

$u = 3^{x}$ とします。 $u$ を $3^{x}$ に代入します。

$9 u^{2} - 10 u + 1 = 0$

ステップ 1.4

群による因数分解。

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ステップ 1.4.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 9 \cdot 1 = 9$ で和が $b = - 10$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 1.4.1.1

$- 10$ を $- 10 u$ で因数分解します。

$9 u^{2} - 10 u + 1 = 0$

ステップ 1.4.1.2

$- 10$ を $- 1$ プラス $- 9$ に書き換える

$9 u^{2} + (- 1 - 9) u + 1 = 0$

ステップ 1.4.1.3

分配則を当てはめます。

$9 u^{2} - 1 u - 9 u + 1 = 0$

ステップ 1.4.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 1.4.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(9 u^{2} - 1 u) - 9 u + 1 = 0$

ステップ 1.4.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$u (9 u - 1) - (9 u - 1) = 0$

ステップ 1.4.3

最大公約数 $9 u - 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(9 u - 1) (u - 1) = 0$

ステップ 1.5

$u$ のすべての発生を $3^{x}$ で置き換えます。

$(9 \cdot 3^{x} - 1) (3^{x} - 1) = 0$

ステップ 2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$9 \cdot 3^{x} - 1 = 0$

$3^{x} - 1 = 0$

ステップ 3

$9 \cdot 3^{x} - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.1

$9 \cdot 3^{x} - 1$ が $0$ に等しいとします。

$9 \cdot 3^{x} - 1 = 0$

ステップ 3.2

$x$ について $9 \cdot 3^{x} - 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 3.2.1

$9 \cdot 3^{x}$ を掛けます。

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ステップ 3.2.1.1

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$3^{2} \cdot 3^{x} - 1 = 0$

ステップ 3.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$3^{2 + x} - 1 = 0$

ステップ 3.2.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$3^{2 + x} = 1$

ステップ 3.2.3

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (3^{2 + x}) = \ln (1)$

ステップ 3.2.4

$2 + x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (3^{2 + x})$ を展開します。

$(2 + x) \ln (3) = \ln (1)$

ステップ 3.2.5

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.5.1

分配則を当てはめます。

$2 \ln (3) + x \ln (3) = \ln (1)$

ステップ 3.2.6

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.6.1

$1$ の自然対数は $0$ です。

$2 \ln (3) + x \ln (3) = 0$

ステップ 3.2.7

$2 \ln (3)$ と $x \ln (3)$ を並べ替えます。

$x \ln (3) + 2 \ln (3) = 0$

ステップ 3.2.8

方程式の両辺から $2 \ln (3)$ を引きます。

$x \ln (3) = - 2 \ln (3)$

ステップ 3.2.9

$x \ln (3) = - 2 \ln (3)$ の各項を $\ln (3)$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.2.9.1

$x \ln (3) = - 2 \ln (3)$ の各項を $\ln (3)$ で割ります。

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{- 2 \ln (3)}{\ln (3)}$

ステップ 3.2.9.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.9.2.1

$\ln (3)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.9.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{- 2 \ln (3)}{\ln (3)}$

ステップ 3.2.9.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 2 \ln (3)}{\ln (3)}$

ステップ 3.2.9.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.9.3.1

$\ln (3)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.9.3.1.1

共通因数を約分します。

$x = \frac{- 2 \ln (3)}{\ln (3)}$

ステップ 3.2.9.3.1.2

$- 2$ を $1$ で割ります。

$x = - 2$

ステップ 4

$3^{x} - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.1

$3^{x} - 1$ が $0$ に等しいとします。

$3^{x} - 1 = 0$

ステップ 4.2

$x$ について $3^{x} - 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 4.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$3^{x} = 1$

ステップ 4.2.2

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (3^{x}) = \ln (1)$

ステップ 4.2.3

$x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (3^{x})$ を展開します。

$x \ln (3) = \ln (1)$

ステップ 4.2.4

右辺を簡約します。

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ステップ 4.2.4.1

$1$ の自然対数は $0$ です。

$x \ln (3) = 0$

ステップ 4.2.5

$x \ln (3) = 0$ の各項を $\ln (3)$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.2.5.1

$x \ln (3) = 0$ の各項を $\ln (3)$ で割ります。

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{0}{\ln (3)}$

ステップ 4.2.5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.2.5.2.1

$\ln (3)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{0}{\ln (3)}$

ステップ 4.2.5.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{0}{\ln (3)}$

ステップ 4.2.5.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.2.5.3.1

$0$ を $\ln (3)$ で割ります。

$x = 0$

ステップ 5

最終解は $(9 \cdot 3^{x} - 1) (3^{x} - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 2, 0$

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