微分積分学準備例

$8 x^{3} - 27 = 0$

ステップ 1

方程式の両辺に $27$ を足します。

$8 x^{3} = 27$

ステップ 2

方程式の両辺から $27$ を引きます。

$8 x^{3} - 27 = 0$

ステップ 3

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 3.1

$8 x^{3}$ を ${(2 x)}^{3}$ に書き換えます。

${(2 x)}^{3} - 27 = 0$

ステップ 3.2

$27$ を $3^{3}$ に書き換えます。

${(2 x)}^{3} - 3^{3} = 0$

ステップ 3.3

両項とも完全立方なので、立方の差の公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 2 x$ であり、 $b = 3$ です。

$(2 x - 3) ({(2 x)}^{2} + 2 x \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

ステップ 3.4

簡約します。

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ステップ 3.4.1

積の法則を $2 x$ に当てはめます。

$(2 x - 3) (2^{2} x^{2} + 2 x \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

ステップ 3.4.2

$2$ を $2$ 乗します。

$(2 x - 3) (4 x^{2} + 2 x \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

ステップ 3.4.3

$3$ に $2$ をかけます。

$(2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 3^{2}) = 0$

ステップ 3.4.4

$3$ を $2$ 乗します。

$(2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 9) = 0$

ステップ 4

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$2 x - 3 = 0$

$4 x^{2} + 6 x + 9 = 0$

ステップ 5

$2 x - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.1

$2 x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$2 x - 3 = 0$

ステップ 5.2

$x$ について $2 x - 3 = 0$ を解きます。

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ステップ 5.2.1

方程式の両辺に $3$ を足します。

$2 x = 3$

ステップ 5.2.2

$2 x = 3$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$2 x = 3$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

ステップ 5.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

ステップ 5.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{3}{2}$

ステップ 6

$4 x^{2} + 6 x + 9$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 6.1

$4 x^{2} + 6 x + 9$ が $0$ に等しいとします。

$4 x^{2} + 6 x + 9 = 0$

ステップ 6.2

$x$ について $4 x^{2} + 6 x + 9 = 0$ を解きます。

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ステップ 6.2.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 6.2.2

$a = 4$ 、 $b = 6$ 、および $c = 9$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (4 \cdot 9)}}{2 \cdot 4}$

ステップ 6.2.3

簡約します。

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ステップ 6.2.3.1

分子を簡約します。

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ステップ 6.2.3.1.1

$6$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 4 \cdot 9}}{2 \cdot 4}$

ステップ 6.2.3.1.2

$- 4 \cdot 4 \cdot 9$ を掛けます。

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ステップ 6.2.3.1.2.1

$- 4$ に $4$ をかけます。

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 16 \cdot 9}}{2 \cdot 4}$

ステップ 6.2.3.1.2.2

$- 16$ に $9$ をかけます。

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 144}}{2 \cdot 4}$

ステップ 6.2.3.1.3

$36$ から $144$ を引きます。

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 108}}{2 \cdot 4}$

ステップ 6.2.3.1.4

$- 108$ を $- 1 (108)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 108}}{2 \cdot 4}$

ステップ 6.2.3.1.5

$\sqrt{- 1 (108)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{108}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{108}}{2 \cdot 4}$

ステップ 6.2.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- 6 \pm i \cdot \sqrt{108}}{2 \cdot 4}$

ステップ 6.2.3.1.7

$108$ を $6^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

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ステップ 6.2.3.1.7.1

$36$ を $108$ で因数分解します。

$x = \frac{- 6 \pm i \cdot \sqrt{36 (3)}}{2 \cdot 4}$

ステップ 6.2.3.1.7.2

$36$ を $6^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 6 \pm i \cdot \sqrt{6^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

ステップ 6.2.3.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 6 \pm i \cdot (6 \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

ステップ 6.2.3.1.9

$6$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{- 6 \pm 6 i \sqrt{3}}{2 \cdot 4}$

ステップ 6.2.3.2

$2$ に $4$ をかけます。

$x = \frac{- 6 \pm 6 i \sqrt{3}}{8}$

ステップ 6.2.3.3

$\frac{- 6 \pm 6 i \sqrt{3}}{8}$ を簡約します。

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{4}$

ステップ 6.2.4

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{4}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{4}$

ステップ 7

最終解は $(2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 9) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \frac{3}{2}, - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{4}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{4}$

微分積分学準備 例

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