微分積分学準備例

$8 e^{2 x} + 8 e^{x} = 6$

ステップ 1

$e^{2 x}$ を累乗法として書き換えます。

$8 {(e^{x})}^{2} + 8 e^{x} = 6$

ステップ 2

$u$ を $e^{x}$ に代入します。

$8 u^{2} + 8 u = 6$

ステップ 3

$u$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺から $6$ を引きます。

$8 u^{2} + 8 u - 6 = 0$

ステップ 3.2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 3.2.1

$2$ を $8 u^{2} + 8 u - 6$ で因数分解します。

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ステップ 3.2.1.1

$2$ を $8 u^{2}$ で因数分解します。

$2 (4 u^{2}) + 8 u - 6 = 0$

ステップ 3.2.1.2

$2$ を $8 u$ で因数分解します。

$2 (4 u^{2}) + 2 (4 u) - 6 = 0$

ステップ 3.2.1.3

$2$ を $- 6$ で因数分解します。

$2 (4 u^{2}) + 2 (4 u) + 2 (- 3) = 0$

ステップ 3.2.1.4

$2$ を $2 (4 u^{2}) + 2 (4 u)$ で因数分解します。

$2 (4 u^{2} + 4 u) + 2 (- 3) = 0$

ステップ 3.2.1.5

$2$ を $2 (4 u^{2} + 4 u) + 2 (- 3)$ で因数分解します。

$2 (4 u^{2} + 4 u - 3) = 0$

ステップ 3.2.2

因数分解。

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ステップ 3.2.2.1

群による因数分解。

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ステップ 3.2.2.1.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 4 \cdot - 3 = - 12$ で和が $b = 4$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 3.2.2.1.1.1

$4$ を $4 u$ で因数分解します。

$2 (4 u^{2} + 4 (u) - 3) = 0$

ステップ 3.2.2.1.1.2

$4$ を $- 2$ プラス $6$ に書き換える

$2 (4 u^{2} + (- 2 + 6) u - 3) = 0$

ステップ 3.2.2.1.1.3

分配則を当てはめます。

$2 (4 u^{2} - 2 u + 6 u - 3) = 0$

ステップ 3.2.2.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 3.2.2.1.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$2 ((4 u^{2} - 2 u) + 6 u - 3) = 0$

ステップ 3.2.2.1.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$2 (2 u (2 u - 1) + 3 (2 u - 1)) = 0$

ステップ 3.2.2.1.3

最大公約数 $2 u - 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$2 ((2 u - 1) (2 u + 3)) = 0$

ステップ 3.2.2.2

不要な括弧を削除します。

$2 (2 u - 1) (2 u + 3) = 0$

ステップ 3.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$2 u - 1 = 0$

$2 u + 3 = 0$

ステップ 3.4

$2 u - 1$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

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ステップ 3.4.1

$2 u - 1$ が $0$ に等しいとします。

$2 u - 1 = 0$

ステップ 3.4.2

$u$ について $2 u - 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 3.4.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$2 u = 1$

ステップ 3.4.2.2

$2 u = 1$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.4.2.2.1

$2 u = 1$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

ステップ 3.4.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.4.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

ステップ 3.4.2.2.2.1.2

$u$ を $1$ で割ります。

$u = \frac{1}{2}$

ステップ 3.5

$2 u + 3$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

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ステップ 3.5.1

$2 u + 3$ が $0$ に等しいとします。

$2 u + 3 = 0$

ステップ 3.5.2

$u$ について $2 u + 3 = 0$ を解きます。

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ステップ 3.5.2.1

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$2 u = - 3$

ステップ 3.5.2.2

$2 u = - 3$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.5.2.2.1

$2 u = - 3$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 3}{2}$

ステップ 3.5.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.5.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 3}{2}$

ステップ 3.5.2.2.2.1.2

$u$ を $1$ で割ります。

$u = \frac{- 3}{2}$

ステップ 3.5.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.5.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$u = - \frac{3}{2}$

ステップ 3.6

最終解は $2 (2 u - 1) (2 u + 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$u = \frac{1}{2}, - \frac{3}{2}$

ステップ 4

$\frac{1}{2}$ を $u = e^{x}$ の中の $u$ に代入します。

$\frac{1}{2} = e^{x}$

ステップ 5

$\frac{1}{2} = e^{x}$ を解きます。

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ステップ 5.1

方程式を $e^{x} = \frac{1}{2}$ として書き換えます。

$e^{x} = \frac{1}{2}$

ステップ 5.2

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{1}{2})$

ステップ 5.3

左辺を展開します。

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ステップ 5.3.1

$x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{x})$ を展開します。

$x \ln (e) = \ln (\frac{1}{2})$

ステップ 5.3.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$x \cdot 1 = \ln (\frac{1}{2})$

ステップ 5.3.3

$x$ に $1$ をかけます。

$x = \ln (\frac{1}{2})$

ステップ 6

$- \frac{3}{2}$ を $u = e^{x}$ の中の $u$ に代入します。

$- \frac{3}{2} = e^{x}$

ステップ 7

$- \frac{3}{2} = e^{x}$ を解きます。

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ステップ 7.1

方程式を $e^{x} = - \frac{3}{2}$ として書き換えます。

$e^{x} = - \frac{3}{2}$

ステップ 7.2

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{x}) = \ln (- \frac{3}{2})$

ステップ 7.3

$\ln (- \frac{3}{2})$ が未定義なので、方程式は解くことができません。

未定義

ステップ 7.4

$e^{x} = - \frac{3}{2}$ の解はありません

解がありません

ステップ 8

方程式が真になるような解をリストします。

$x = \ln (\frac{1}{2})$

ステップ 9

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$x = \ln (\frac{1}{2})$

10進法形式：

$x = - 0.69314718 \dots$

微分積分学準備 例

微分積分学準備例