微分積分学準備例

$\tan (2 x) = \tan (x)$

ステップ 1

方程式の両辺から $\tan (x)$ を引きます。

$\tan (2 x) - \tan (x) = 0$

ステップ 2

各項を簡約します。

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ステップ 2.1

正切2倍角の公式を当てはめます。

$\frac{2 \tan (x)}{1 - \tan^{2} (x)} - \tan (x) = 0$

ステップ 2.2

分母を簡約します。

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ステップ 2.2.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{2 \tan (x)}{1^{2} - \tan^{2} (x)} - \tan (x) = 0$

ステップ 2.2.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = \tan (x)$ です。

$\frac{2 \tan (x)}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} - \tan (x) = 0$

ステップ 3

$\tan (x)$ を $\frac{2 \tan (x)}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} - \tan (x)$ で因数分解します。

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ステップ 3.1

$\tan (x)$ を $\frac{2 \tan (x)}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))}$ で因数分解します。

$\tan (x) \frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} - \tan (x) = 0$

ステップ 3.2

$\tan (x)$ を $- \tan (x)$ で因数分解します。

$\tan (x) \frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} + \tan (x) \cdot - 1 = 0$

ステップ 3.3

$\tan (x)$ を $\tan (x) \frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} + \tan (x) \cdot - 1$ で因数分解します。

$\tan (x) (\frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} - 1) = 0$

ステップ 4

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$\tan (x) = 0$

$\frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} - 1 = 0$

ステップ 5

$\tan (x)$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.1

$\tan (x)$ が $0$ に等しいとします。

$\tan (x) = 0$

ステップ 5.2

$x$ について $\tan (x) = 0$ を解きます。

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ステップ 5.2.1

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $x$ を取り出します。

$x = \arctan (0)$

ステップ 5.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$\arctan (0)$ の厳密値は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 5.2.3

正接関数は、第一象限と第三象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を足し、第四象限で解を求めます。

$x = π + 0$

ステップ 5.2.4

$π$ と $0$ をたし算します。

$x = π$

ステップ 5.2.5

$\tan (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 5.2.5.1

関数の期間は $\frac{π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{π}{| b |}$

ステップ 5.2.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{π}{| 1 |}$

ステップ 5.2.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{π}{1}$

ステップ 5.2.5.4

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 5.2.6

$\tan (x)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = π n, π + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 6

$\frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 6.1

$\frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} - 1$ が $0$ に等しいとします。

$\frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} - 1 = 0$

ステップ 6.2

$x$ について $\frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} - 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 6.2.1

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 6.2.1.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)), 1, 1$

ステップ 6.2.1.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))$

ステップ 6.2.2

$\frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} - 1 = 0$ の各項に $(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 6.2.2.1

$\frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} - 1 = 0$ の各項に $(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))$ を掛けます。

$\frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))) - ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

ステップ 6.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.2.2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.2.2.2.1.1

$(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.2.2.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))) - ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

ステップ 6.2.2.2.1.1.2

式を書き換えます。

$2 - ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

ステップ 6.2.2.2.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.2.1.2.1

分配則を当てはめます。

$2 - (1 (1 - \tan (x)) + \tan (x) (1 - \tan (x))) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

ステップ 6.2.2.2.1.2.2

分配則を当てはめます。

$2 - (1 \cdot 1 + 1 (- \tan (x)) + \tan (x) (1 - \tan (x))) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

ステップ 6.2.2.2.1.2.3

分配則を当てはめます。

$2 - (1 \cdot 1 + 1 (- \tan (x)) + \tan (x) \cdot 1 + \tan (x) (- \tan (x))) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

ステップ 6.2.2.2.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 6.2.2.2.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.2.1.3.1.1

$1$ に $1$ をかけます。

$2 - (1 + 1 (- \tan (x)) + \tan (x) \cdot 1 + \tan (x) (- \tan (x))) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

ステップ 6.2.2.2.1.3.1.2

$- \tan (x)$ に $1$ をかけます。

$2 - (1 - \tan (x) + \tan (x) \cdot 1 + \tan (x) (- \tan (x))) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

ステップ 6.2.2.2.1.3.1.3

$\tan (x)$ に $1$ をかけます。

$2 - (1 - \tan (x) + \tan (x) + \tan (x) (- \tan (x))) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

ステップ 6.2.2.2.1.3.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$2 - (1 - \tan (x) + \tan (x) - \tan (x) \tan (x)) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

ステップ 6.2.2.2.1.3.1.5

指数を足して $\tan (x)$ に $\tan (x)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.2.1.3.1.5.1

$\tan (x)$ を移動させます。

$2 - (1 - \tan (x) + \tan (x) - (\tan (x) \tan (x))) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

ステップ 6.2.2.2.1.3.1.5.2

$\tan (x)$ に $\tan (x)$ をかけます。

$2 - (1 - \tan (x) + \tan (x) - \tan^{2} (x)) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

ステップ 6.2.2.2.1.3.2

$- \tan (x)$ と $\tan (x)$ をたし算します。

$2 - (1 + 0 - \tan^{2} (x)) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

ステップ 6.2.2.2.1.3.3

$1$ と $0$ をたし算します。

$2 - (1 - \tan^{2} (x)) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

ステップ 6.2.2.2.1.4

分配則を当てはめます。

$2 - 1 \cdot 1 - - \tan^{2} (x) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

ステップ 6.2.2.2.1.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$2 - 1 - - \tan^{2} (x) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

ステップ 6.2.2.2.1.6

$- - \tan^{2} (x)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.2.1.6.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$2 - 1 + 1 \tan^{2} (x) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

ステップ 6.2.2.2.1.6.2

$\tan^{2} (x)$ に $1$ をかけます。

$2 - 1 + \tan^{2} (x) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

ステップ 6.2.2.2.2

$2$ から $1$ を引きます。

$1 + \tan^{2} (x) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

ステップ 6.2.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.3.1

分配法則（FOIL法）を使って $(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.3.1.1

分配則を当てはめます。

$1 + \tan^{2} (x) = 0 (1 (1 - \tan (x)) + \tan (x) (1 - \tan (x)))$

ステップ 6.2.2.3.1.2

分配則を当てはめます。

$1 + \tan^{2} (x) = 0 (1 \cdot 1 + 1 (- \tan (x)) + \tan (x) (1 - \tan (x)))$

ステップ 6.2.2.3.1.3

分配則を当てはめます。

$1 + \tan^{2} (x) = 0 (1 \cdot 1 + 1 (- \tan (x)) + \tan (x) \cdot 1 + \tan (x) (- \tan (x)))$

ステップ 6.2.2.3.2

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 6.2.2.3.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.2.2.3.2.1.1

$1$ に $1$ をかけます。

$1 + \tan^{2} (x) = 0 (1 + 1 (- \tan (x)) + \tan (x) \cdot 1 + \tan (x) (- \tan (x)))$

ステップ 6.2.2.3.2.1.2

$- \tan (x)$ に $1$ をかけます。

$1 + \tan^{2} (x) = 0 (1 - \tan (x) + \tan (x) \cdot 1 + \tan (x) (- \tan (x)))$

ステップ 6.2.2.3.2.1.3

$\tan (x)$ に $1$ をかけます。

$1 + \tan^{2} (x) = 0 (1 - \tan (x) + \tan (x) + \tan (x) (- \tan (x)))$

ステップ 6.2.2.3.2.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$1 + \tan^{2} (x) = 0 (1 - \tan (x) + \tan (x) - \tan (x) \tan (x))$

ステップ 6.2.2.3.2.1.5

指数を足して $\tan (x)$ に $\tan (x)$ を掛けます。

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ステップ 6.2.2.3.2.1.5.1

$\tan (x)$ を移動させます。

$1 + \tan^{2} (x) = 0 (1 - \tan (x) + \tan (x) - (\tan (x) \tan (x)))$

ステップ 6.2.2.3.2.1.5.2

$\tan (x)$ に $\tan (x)$ をかけます。

$1 + \tan^{2} (x) = 0 (1 - \tan (x) + \tan (x) - \tan^{2} (x))$

ステップ 6.2.2.3.2.2

$- \tan (x)$ と $\tan (x)$ をたし算します。

$1 + \tan^{2} (x) = 0 (1 + 0 - \tan^{2} (x))$

ステップ 6.2.2.3.2.3

$1$ と $0$ をたし算します。

$1 + \tan^{2} (x) = 0 (1 - \tan^{2} (x))$

ステップ 6.2.2.3.3

$0$ に $1 - \tan^{2} (x)$ をかけます。

$1 + \tan^{2} (x) = 0$

ステップ 6.2.3

方程式を解きます。

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ステップ 6.2.3.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$\tan^{2} (x) = - 1$

ステップ 6.2.3.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\tan (x) = \pm \sqrt{- 1}$

ステップ 6.2.3.3

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$\tan (x) = \pm i$

ステップ 6.2.3.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 6.2.3.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$\tan (x) = i$

ステップ 6.2.3.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$\tan (x) = - i$

ステップ 6.2.3.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$\tan (x) = i, - i$

ステップ 6.2.4

各解を求め、 $x$ を解きます。

$\tan (x) = i$

$\tan (x) = - i$

ステップ 6.2.5

$\tan (x) = i$ の $x$ について解きます。

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ステップ 6.2.5.1

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $x$ を取り出します。

$x = \arctan (i)$

ステップ 6.2.5.2

$\arctan (i)$ の逆正切は未定義です。

未定義

ステップ 6.2.6

$\tan (x) = - i$ の $x$ について解きます。

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ステップ 6.2.6.1

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $x$ を取り出します。

$x = \arctan (- i)$

ステップ 6.2.6.2

$\arctan (- i)$ の逆正切は未定義です。

未定義

ステップ 6.2.7

すべての解をまとめます。

解がありません

ステップ 7

最終解は $\tan (x) (\frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = π n, π + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 8

答えをまとめます。

$x = π n$ 、任意の整数 $n$

微分積分学準備 例

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