微分積分学準備例

$\sin (x + \frac{π}{3}) = \frac{1}{2}$

ステップ 1

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x + \frac{π}{3} = \arcsin (\frac{1}{2})$

ステップ 2

右辺を簡約します。

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ステップ 2.1

$\arcsin (\frac{1}{2})$ の厳密値は $\frac{π}{6}$ です。

$x + \frac{π}{3} = \frac{π}{6}$

ステップ 3

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺から $\frac{π}{3}$ を引きます。

$x = \frac{π}{6} - \frac{π}{3}$

ステップ 3.2

$- \frac{π}{3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$x = \frac{π}{6} - \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2}$

ステップ 3.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $6$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 3.3.1

$\frac{π}{3}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$x = \frac{π}{6} - \frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2}$

ステップ 3.3.2

$3$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{π}{6} - \frac{π \cdot 2}{6}$

ステップ 3.4

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{π - π \cdot 2}{6}$

ステップ 3.5

分子を簡約します。

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ステップ 3.5.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$x = \frac{π - 2 π}{6}$

ステップ 3.5.2

$π$ から $2 π$ を引きます。

$x = \frac{- π}{6}$

ステップ 3.6

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{π}{6}$

ステップ 4

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$x + \frac{π}{3} = π - \frac{π}{6}$

ステップ 5

$x$ について解きます。

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ステップ 5.1

$π - \frac{π}{6}$ を簡約します。

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ステップ 5.1.1

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{6}{6}$ を掛けます。

$x + \frac{π}{3} = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

ステップ 5.1.2

分数をまとめます。

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ステップ 5.1.2.1

$π$ と $\frac{6}{6}$ をまとめます。

$x + \frac{π}{3} = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

ステップ 5.1.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x + \frac{π}{3} = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

ステップ 5.1.3

分子を簡約します。

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ステップ 5.1.3.1

$6$ を $π$ の左に移動させます。

$x + \frac{π}{3} = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

ステップ 5.1.3.2

$6 π$ から $π$ を引きます。

$x + \frac{π}{3} = \frac{5 π}{6}$

ステップ 5.2

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 5.2.1

方程式の両辺から $\frac{π}{3}$ を引きます。

$x = \frac{5 π}{6} - \frac{π}{3}$

ステップ 5.2.2

$- \frac{π}{3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$x = \frac{5 π}{6} - \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2}$

ステップ 5.2.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $6$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 5.2.3.1

$\frac{π}{3}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$x = \frac{5 π}{6} - \frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2}$

ステップ 5.2.3.2

$3$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{5 π}{6} - \frac{π \cdot 2}{6}$

ステップ 5.2.4

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{5 π - π \cdot 2}{6}$

ステップ 5.2.5

分子を簡約します。

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ステップ 5.2.5.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$x = \frac{5 π - 2 π}{6}$

ステップ 5.2.5.2

$5 π$ から $2 π$ を引きます。

$x = \frac{3 π}{6}$

ステップ 5.2.6

$3$ と $6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.6.1

$3$ を $3 π$ で因数分解します。

$x = \frac{3 (π)}{6}$

ステップ 5.2.6.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.6.2.1

$3$ を $6$ で因数分解します。

$x = \frac{3 π}{3 \cdot 2}$

ステップ 5.2.6.2.2

共通因数を約分します。

$x = \frac{3 π}{3 \cdot 2}$

ステップ 5.2.6.2.3

式を書き換えます。

$x = \frac{π}{2}$

ステップ 6

$\sin (x + \frac{π}{3})$ の周期を求めます。

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ステップ 6.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 6.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 6.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 6.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 7

$2 π$ を各負の角に足し、正の角を得ます。

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ステップ 7.1

$2 π$ を $- \frac{π}{6}$ に足し、正の角を求めます。

$- \frac{π}{6} + 2 π$

ステップ 7.2

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{6}{6}$ を掛けます。

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

ステップ 7.3

分数をまとめます。

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ステップ 7.3.1

$2 π$ と $\frac{6}{6}$ をまとめます。

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

ステップ 7.3.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

ステップ 7.4

分子を簡約します。

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ステップ 7.4.1

$6$ に $2$ をかけます。

$\frac{12 π - π}{6}$

ステップ 7.4.2

$12 π$ から $π$ を引きます。

$\frac{11 π}{6}$

ステップ 7.5

新しい角をリストします。

$x = \frac{11 π}{6}$

ステップ 8

$\sin (x + \frac{π}{3})$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

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