微分積分学準備例

$\sin (2 x) = 2 \sin (x)$

ステップ 1

方程式の両辺から $2 \sin (x)$ を引きます。

$\sin (2 x) - 2 \sin (x) = 0$

ステップ 2

正弦2倍角の公式を当てはめます。

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x) = 0$

ステップ 3

$2 \sin (x)$ を $2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x)$ で因数分解します。

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ステップ 3.1

$2 \sin (x)$ を $- 2 \sin (x)$ で因数分解します。

$2 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) \cdot - 1 = 0$

ステップ 3.2

$2 \sin (x)$ を $2 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) \cdot - 1$ で因数分解します。

$2 \sin (x) (\cos (x) - 1) = 0$

ステップ 4

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$\sin (x) = 0$

$\cos (x) - 1 = 0$

ステップ 5

$\sin (x)$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.1

$\sin (x)$ が $0$ に等しいとします。

$\sin (x) = 0$

ステップ 5.2

$x$ について $\sin (x) = 0$ を解きます。

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ステップ 5.2.1

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arcsin (0)$

ステップ 5.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$\arcsin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 5.2.3

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$x = π - 0$

ステップ 5.2.4

$π$ から $0$ を引きます。

$x = π$

ステップ 5.2.5

$\sin (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 5.2.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 5.2.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 5.2.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 5.2.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 5.2.6

$\sin (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 2 π n, π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 6

$\cos (x) - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 6.1

$\cos (x) - 1$ が $0$ に等しいとします。

$\cos (x) - 1 = 0$

ステップ 6.2

$x$ について $\cos (x) - 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 6.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$\cos (x) = 1$

ステップ 6.2.2

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arccos (1)$

ステップ 6.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 6.2.3.1

$\arccos (1)$ の厳密値は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 6.2.4

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$x = 2 π - 0$

ステップ 6.2.5

$2 π$ から $0$ を引きます。

$x = 2 π$

ステップ 6.2.6

$\cos (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 6.2.6.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 6.2.6.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 6.2.6.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 6.2.6.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 6.2.7

$\cos (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 7

最終解は $2 \sin (x) (\cos (x) - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 2 π n, π + 2 π n, 2 π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 8

答えをまとめます。

$x = π n$ 、任意の整数 $n$

微分積分学準備 例

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