微分積分学準備例

sin (9 x) = 1

$\sin (9 x) = 1$

ステップ 1

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から

x

$x$ を取り出します。

$9 x = \arcsin (1)$

ステップ 2

右辺を簡約します。

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ステップ 2.1

$\arcsin (1)$ の厳密値は

$\frac{π}{2}$ です。

$9 x = \frac{π}{2}$

ステップ 3

$9 x = \frac{π}{2}$ の各項を

$9$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.1

$9 x = \frac{π}{2}$ の各項を

$9$ で割ります。

$\frac{9 x}{9} = \frac{\frac{π}{2}}{9}$

ステップ 3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

$9$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{9 x}{9} = \frac{\frac{π}{2}}{9}$

ステップ 3.2.1.2

$x$ を

$1$ で割ります。

$x = \frac{\frac{π}{2}}{9}$

ステップ 3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{9}$

ステップ 3.3.2

$\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{9}$ を掛けます。

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ステップ 3.3.2.1

$\frac{π}{2}$ に

$\frac{1}{9}$ をかけます。

$x = \frac{π}{2 \cdot 9}$

ステップ 3.3.2.2

$2$ に

$9$ をかけます。

$x = \frac{π}{18}$

ステップ 4

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、

$π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$9 x = π - \frac{π}{2}$

ステップ 5

$x$ について解きます。

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ステップ 5.1

簡約します。

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ステップ 5.1.1

$π$ を公分母のある分数として書くために、

$\frac{2}{2}$ を掛けます。

$9 x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 5.1.2

$π$ と

$\frac{2}{2}$ をまとめます。

$9 x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 5.1.3

公分母の分子をまとめます。

$9 x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

ステップ 5.1.4

$π \cdot 2$ から

$π$ を引きます。

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ステップ 5.1.4.1

$π$ と

$2$ を並べ替えます。

$9 x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

ステップ 5.1.4.2

$2 \cdot π$ から

$π$ を引きます。

$9 x = \frac{π}{2}$

ステップ 5.2

$9 x = \frac{π}{2}$ の各項を

$9$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.2.1

$9 x = \frac{π}{2}$ の各項を

$9$ で割ります。

$\frac{9 x}{9} = \frac{\frac{π}{2}}{9}$

ステップ 5.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$9$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{9 x}{9} = \frac{\frac{π}{2}}{9}$

ステップ 5.2.2.1.2

$x$ を

$1$ で割ります。

$x = \frac{\frac{π}{2}}{9}$

ステップ 5.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.2.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{9}$

ステップ 5.2.3.2

$\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{9}$ を掛けます。

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ステップ 5.2.3.2.1

$\frac{π}{2}$ に

$\frac{1}{9}$ をかけます。

$x = \frac{π}{2 \cdot 9}$

ステップ 5.2.3.2.2

$2$ に

$9$ をかけます。

$x = \frac{π}{18}$

ステップ 6

$\sin (9 x)$ の周期を求めます。

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ステップ 6.1

関数の期間は

$\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 6.2

周期の公式の

$b$ を

$9$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 9 |}$

ステップ 6.3

絶対値は数と0の間の距離です。

$0$ と

$9$ の間の距離は

$9$ です。

$\frac{2 π}{9}$

ステップ 7

$\sin (9 x)$ 関数の周期が

$\frac{2 π}{9}$ なので、両方向で

$\frac{2 π}{9}$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{18} + \frac{2 π n}{9}$ 、任意の整数

$n$

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