微分積分学準備例

$\sin (4 x) = \frac{1}{2}$

ステップ 1

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$4 x = \arcsin (\frac{1}{2})$

ステップ 2

右辺を簡約します。

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ステップ 2.1

$\arcsin (\frac{1}{2})$ の厳密値は $\frac{π}{6}$ です。

$4 x = \frac{π}{6}$

ステップ 3

$4 x = \frac{π}{6}$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.1

$4 x = \frac{π}{6}$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{π}{6}}{4}$

ステップ 3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{π}{6}}{4}$

ステップ 3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{\frac{π}{6}}{4}$

ステップ 3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$x = \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{4}$

ステップ 3.3.2

$\frac{π}{6} \cdot \frac{1}{4}$ を掛けます。

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ステップ 3.3.2.1

$\frac{π}{6}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$x = \frac{π}{6 \cdot 4}$

ステップ 3.3.2.2

$6$ に $4$ をかけます。

$x = \frac{π}{24}$

ステップ 4

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$4 x = π - \frac{π}{6}$

ステップ 5

$x$ について解きます。

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ステップ 5.1

簡約します。

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ステップ 5.1.1

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{6}{6}$ を掛けます。

$4 x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

ステップ 5.1.2

$π$ と $\frac{6}{6}$ をまとめます。

$4 x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

ステップ 5.1.3

公分母の分子をまとめます。

$4 x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

ステップ 5.1.4

$π \cdot 6$ から $π$ を引きます。

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ステップ 5.1.4.1

$π$ と $6$ を並べ替えます。

$4 x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

ステップ 5.1.4.2

$6 \cdot π$ から $π$ を引きます。

$4 x = \frac{5 \cdot π}{6}$

ステップ 5.2

$4 x = \frac{5 \cdot π}{6}$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.2.1

$4 x = \frac{5 \cdot π}{6}$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{4}$

ステップ 5.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{4}$

ステップ 5.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{4}$

ステップ 5.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.2.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$x = \frac{5 \cdot π}{6} \cdot \frac{1}{4}$

ステップ 5.2.3.2

$\frac{5 π}{6} \cdot \frac{1}{4}$ を掛けます。

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ステップ 5.2.3.2.1

$\frac{5 π}{6}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$x = \frac{5 π}{6 \cdot 4}$

ステップ 5.2.3.2.2

$6$ に $4$ をかけます。

$x = \frac{5 π}{24}$

ステップ 6

$\sin (4 x)$ の周期を求めます。

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ステップ 6.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 6.2

周期の公式の $b$ を $4$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 4 |}$

ステップ 6.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $4$ の間の距離は $4$ です。

$\frac{2 π}{4}$

ステップ 6.4

$2$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.4.1

$2$ を $2 π$ で因数分解します。

$\frac{2 (π)}{4}$

ステップ 6.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 6.4.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

ステップ 6.4.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

ステップ 6.4.2.3

式を書き換えます。

$\frac{π}{2}$

ステップ 7

$\sin (4 x)$ 関数の周期が $\frac{π}{2}$ なので、両方向で $\frac{π}{2}$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{24} + \frac{π n}{2}, \frac{5 π}{24} + \frac{π n}{2}$ 、任意の整数 $n$

微分積分学準備 例

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