微分積分学準備例

$y^{4} - 4 y^{2} = - 3$

ステップ 1

方程式の両辺に $3$ を足します。

$y^{4} - 4 y^{2} + 3 = 0$

ステップ 2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.1

$y^{4}$ を ${(y^{2})}^{2}$ に書き換えます。

${(y^{2})}^{2} - 4 y^{2} + 3 = 0$

ステップ 2.2

$u = y^{2}$ とします。 $u$ を $y^{2}$ に代入します。

$u^{2} - 4 u + 3 = 0$

ステップ 2.3

たすき掛けを利用して $u^{2} - 4 u + 3$ を因数分解します。

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ステップ 2.3.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $3$ で、その和が $- 4$ です。

$- 3, - 1$

ステップ 2.3.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(u - 3) (u - 1) = 0$

ステップ 2.4

$u$ のすべての発生を $y^{2}$ で置き換えます。

$(y^{2} - 3) (y^{2} - 1) = 0$

ステップ 2.5

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$(y^{2} - 3) (y^{2} - 1^{2}) = 0$

ステップ 2.6

因数分解。

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ステップ 2.6.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = y$ であり、 $b = 1$ です。

$(y^{2} - 3) ((y + 1) (y - 1)) = 0$

ステップ 2.6.2

不要な括弧を削除します。

$(y^{2} - 3) (y + 1) (y - 1) = 0$

ステップ 3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$y^{2} - 3 = 0$

$y + 1 = 0$

$y - 1 = 0$

ステップ 4

$y^{2} - 3$ を $0$ に等しくし、 $y$ を解きます。

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ステップ 4.1

$y^{2} - 3$ が $0$ に等しいとします。

$y^{2} - 3 = 0$

ステップ 4.2

$y$ について $y^{2} - 3 = 0$ を解きます。

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ステップ 4.2.1

方程式の両辺に $3$ を足します。

$y^{2} = 3$

ステップ 4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{3}$

ステップ 4.2.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 4.2.3.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y = \sqrt{3}$

ステップ 4.2.3.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y = - \sqrt{3}$

ステップ 4.2.3.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

ステップ 5

$y + 1$ を $0$ に等しくし、 $y$ を解きます。

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ステップ 5.1

$y + 1$ が $0$ に等しいとします。

$y + 1 = 0$

ステップ 5.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$y = - 1$

ステップ 6

$y - 1$ を $0$ に等しくし、 $y$ を解きます。

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ステップ 6.1

$y - 1$ が $0$ に等しいとします。

$y - 1 = 0$

ステップ 6.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$y = 1$

ステップ 7

最終解は $(y^{2} - 3) (y + 1) (y - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$y = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, - 1, 1$

ステップ 8

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$y = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, - 1, 1$

10進法形式：

$y = 1.73205080 \dots, - 1.73205080 \dots, - 1, 1$

微分積分学準備 例

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