微分積分学準備例

$\log_{3} (y) = \frac{1}{4} \cdot \log_{3} (16) + \frac{1}{3} \cdot \log_{3} (64)$

ステップ 1

右辺を簡約します。

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ステップ 1.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.1

$\frac{1}{4}$ と $\log_{3} (16)$ をまとめます。

$\log_{3} (y) = \frac{\log_{3} (16)}{4} + \frac{1}{3} \log_{3} (64)$

ステップ 1.1.2

$\frac{1}{3}$ と $\log_{3} (64)$ をまとめます。

$\log_{3} (y) = \frac{\log_{3} (16)}{4} + \frac{\log_{3} (64)}{3}$

ステップ 2

$\log_{3} (y) = \frac{\log_{3} (16)}{4} + \frac{\log_{3} (64)}{3}$ の各項に $12$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 2.1

$\log_{3} (y) = \frac{\log_{3} (16)}{4} + \frac{\log_{3} (64)}{3}$ の各項に $12$ を掛けます。

$\log_{3} (y) \cdot 12 = \frac{\log_{3} (16)}{4} \cdot 12 + \frac{\log_{3} (64)}{3} \cdot 12$

ステップ 2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.2.1

$12$ を $\log_{3} (y)$ の左に移動させます。

$12 \log_{3} (y) = \frac{\log_{3} (16)}{4} \cdot 12 + \frac{\log_{3} (64)}{3} \cdot 12$

ステップ 2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.1.1.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$12 \log_{3} (y) = \frac{\log_{3} (16)}{4} \cdot (4 (3)) + \frac{\log_{3} (64)}{3} \cdot 12$

ステップ 2.3.1.1.2

共通因数を約分します。

$12 \log_{3} (y) = \frac{\log_{3} (16)}{4} \cdot (4 \cdot 3) + \frac{\log_{3} (64)}{3} \cdot 12$

ステップ 2.3.1.1.3

式を書き換えます。

$12 \log_{3} (y) = \log_{3} (16) \cdot 3 + \frac{\log_{3} (64)}{3} \cdot 12$

ステップ 2.3.1.2

$3$ を $\log_{3} (16)$ の左に移動させます。

$12 \log_{3} (y) = 3 \cdot \log_{3} (16) + \frac{\log_{3} (64)}{3} \cdot 12$

ステップ 2.3.1.3

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.1.3.1

$3$ を $12$ で因数分解します。

$12 \log_{3} (y) = 3 \log_{3} (16) + \frac{\log_{3} (64)}{3} \cdot (3 (4))$

ステップ 2.3.1.3.2

共通因数を約分します。

$12 \log_{3} (y) = 3 \log_{3} (16) + \frac{\log_{3} (64)}{3} \cdot (3 \cdot 4)$

ステップ 2.3.1.3.3

式を書き換えます。

$12 \log_{3} (y) = 3 \log_{3} (16) + \log_{3} (64) \cdot 4$

ステップ 2.3.1.4

$4$ を $\log_{3} (64)$ の左に移動させます。

$12 \log_{3} (y) = 3 \log_{3} (16) + 4 \log_{3} (64)$

ステップ 3

左辺を簡約します。

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ステップ 3.1

対数の中の $12$ を移動させて $12 \log_{3} (y)$ を簡約します。

$\log_{3} (y^{12}) = 3 \log_{3} (16) + 4 \log_{3} (64)$

ステップ 4

右辺を簡約します。

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ステップ 4.1

$3 \log_{3} (16) + 4 \log_{3} (64)$ を簡約します。

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ステップ 4.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.1.1

対数の中の $3$ を移動させて $3 \log_{3} (16)$ を簡約します。

$\log_{3} (y^{12}) = \log_{3} (16^{3}) + 4 \log_{3} (64)$

ステップ 4.1.1.2

$16$ を $3$ 乗します。

$\log_{3} (y^{12}) = \log_{3} (4096) + 4 \log_{3} (64)$

ステップ 4.1.1.3

対数の中の $4$ を移動させて $4 \log_{3} (64)$ を簡約します。

$\log_{3} (y^{12}) = \log_{3} (4096) + \log_{3} (64^{4})$

ステップ 4.1.1.4

$64$ を $4$ 乗します。

$\log_{3} (y^{12}) = \log_{3} (4096) + \log_{3} (16777216)$

ステップ 4.1.2

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$\log_{3} (y^{12}) = \log_{3} (4096 \cdot 16777216)$

ステップ 4.1.3

$4096$ に $16777216$ をかけます。

$\log_{3} (y^{12}) = \log_{3} (68719476736)$

ステップ 5

方程式を等しくするために、両辺の対数の引数が等しくなる必要があります。

$y^{12} = 68719476736$

ステップ 6

$y$ について解きます。

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ステップ 6.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt[12]{68719476736}$

ステップ 6.2

$\pm \sqrt[12]{68719476736}$ を簡約します。

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ステップ 6.2.1

$68719476736$ を $8^{12}$ に書き換えます。

$y = \pm \sqrt[12]{8^{12}}$

ステップ 6.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$y = \pm 8$

ステップ 6.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 6.3.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y = 8$

ステップ 6.3.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y = - 8$

ステップ 6.3.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = 8, - 8$

ステップ 7

$\log_{3} (y) = \frac{1}{4} \cdot \log_{3} (16) + \frac{1}{3} \cdot \log_{3} (64)$ が真にならない解を除外します。

$y = 8$

微分積分学準備 例

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