微分積分学準備例

$y = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$

ステップ 1

方程式を $\frac{e^{x} + e^{- x}}{2} = y$ として書き換えます。

$\frac{e^{x} + e^{- x}}{2} = y$

ステップ 2

両辺に $2$ を掛けます。

$\frac{e^{x} + e^{- x}}{2} \cdot 2 = y \cdot 2$

ステップ 3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{x} + e^{- x}}{2} \cdot 2 = y \cdot 2$

ステップ 3.1.1.2

式を書き換えます。

$e^{x} + e^{- x} = y \cdot 2$

ステップ 3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$2$ を $y$ の左に移動させます。

$e^{x} + e^{- x} = 2 y$

ステップ 4

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$e^{- x}$ を累乗法として書き換えます。

$e^{x} + {(e^{x})}^{- 1} = 2 y$

ステップ 4.2

$u$ を $e^{x}$ に代入します。

$u + u^{- 1} = 2 y$

ステップ 4.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$u + \frac{1}{u} = 2 y$

ステップ 4.4

$u$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1

方程式の項の最小公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$1, u, 1$

ステップ 4.4.1.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$u$

ステップ 4.4.2

$u + \frac{1}{u} = 2 y$ の各項に $u$ を掛け、分数を消去します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.2.1

$u + \frac{1}{u} = 2 y$ の各項に $u$ を掛けます。

$u \cdot u + \frac{1}{u} u = 2 y u$

ステップ 4.4.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.2.2.1.1

$u$ に $u$ をかけます。

$u^{2} + \frac{1}{u} u = 2 y u$

ステップ 4.4.2.2.1.2

$u$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.2.2.1.2.1

共通因数を約分します。

$u^{2} + \frac{1}{u} u = 2 y u$

ステップ 4.4.2.2.1.2.2

式を書き換えます。

$u^{2} + 1 = 2 y u$

ステップ 4.4.3

方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.3.1

方程式の両辺から $2 y u$ を引きます。

$u^{2} + 1 - 2 y u = 0$

ステップ 4.4.3.2

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 4.4.3.3

$a = 1$ 、 $b = - 2 y$ 、および $c = 1$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $u$ の値を求めます。

$\frac{2 y \pm \sqrt{{(- 2 y)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.4.3.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.3.4.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.3.4.1.1

$4 \cdot 1 \cdot 1$ を ${(2 \cdot 1 \cdot 1)}^{2}$ に書き換えます。

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{{(- 2 y)}^{2} - {(2 \cdot 1 \cdot 1)}^{2}}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.4.3.4.1.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = - 2 y$ であり、 $b = 2 \cdot 1 \cdot 1$ です。

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{(- 2 y + 2 \cdot 1 \cdot 1) (- 2 y - (2 \cdot 1 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.4.3.4.1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.3.4.1.3.1

$2$ を $- 2 y + 2 \cdot 1 \cdot 1$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.3.4.1.3.1.1

$2$ を $- 2 y$ で因数分解します。

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{(2 (- y) + 2 \cdot 1 \cdot 1) (- 2 y - (2 \cdot 1 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.4.3.4.1.3.1.2

$2$ を $2 \cdot 1 \cdot 1$ で因数分解します。

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{(2 (- y) + 2 (1 \cdot 1)) (- 2 y - (2 \cdot 1 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.4.3.4.1.3.1.3

$2$ を $2 (- y) + 2 (1 \cdot 1)$ で因数分解します。

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2 (- y + 1 \cdot 1) (- 2 y - (2 \cdot 1 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.4.3.4.1.3.2

$1$ に $1$ をかけます。

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2 (- y + 1) (- 2 y - (2 \cdot 1 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.4.3.4.1.3.3

指数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.3.4.1.3.3.1

$2$ に $1$ をかけます。

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2 (- y + 1) (- 2 y - (2 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.4.3.4.1.3.3.2

$2$ に $1$ をかけます。

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2 (- y + 1) (- 2 y - 1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.4.3.4.1.3.3.3

$- 1$ に $2$ をかけます。

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2 (- y + 1) (- 2 y - 2)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.4.3.4.1.4

$2$ を $- 2 y - 2$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.3.4.1.4.1

$2$ を $- 2 y$ で因数分解します。

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2 (- y + 1) (2 (- y) - 2)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.4.3.4.1.4.2

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2 (- y + 1) (2 (- y) + 2 (- 1))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.4.3.4.1.4.3

$2$ を $2 (- y) + 2 (- 1)$ で因数分解します。

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2 (- y + 1) (2 (- y - 1))}}{2 \cdot 1}$

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2 (- y + 1) \cdot (2 (- y - 1))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.4.3.4.1.5

$2$ に $2$ をかけます。

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{4 (- y + 1) (- y - 1)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.4.3.4.1.6

$4 (- y + 1) (- y - 1)$ を $2^{2} ((- y + 1^{2}) (- y - 1))$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.3.4.1.6.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2^{2} (- y + 1) (- y - 1)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.4.3.4.1.6.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2^{2} (- y + 1^{2}) (- y - 1)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.4.3.4.1.6.3

括弧を付けます。

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2^{2} ((- y + 1^{2}) (- y - 1))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.4.3.4.1.7

累乗根の下から項を取り出します。

$u = \frac{2 y \pm 2 \sqrt{(- y + 1^{2}) (- y - 1)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.4.3.4.1.8

1のすべての数の累乗は1です。

$u = \frac{2 y \pm 2 \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.4.3.4.2

$2$ に $1$ をかけます。

$u = \frac{2 y \pm 2 \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}}{2}$

ステップ 4.4.3.4.3

$\frac{2 y \pm 2 \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}}{2}$ を簡約します。

$u = y \pm \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$

ステップ 4.4.3.5

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$u = y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$

$u = y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$

$u = y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$

$u = y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$

$u = y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$

$u = y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$

ステップ 4.5

$y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$ を $u = e^{x}$ の中の $u$ に代入します。

$y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)} = e^{x}$

ステップ 4.6

$y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)} = e^{x}$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.6.1

方程式を $e^{x} = y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$ として書き換えます。

$e^{x} = y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$

ステップ 4.6.2

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{x}) = \ln (y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$

ステップ 4.6.3

左辺を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.6.3.1

$x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{x})$ を展開します。

$x \ln (e) = \ln (y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$

ステップ 4.6.3.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$x \cdot 1 = \ln (y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$

ステップ 4.6.3.3

$x$ に $1$ をかけます。

$x = \ln (y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$

ステップ 4.7

$y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$ を $u = e^{x}$ の中の $u$ に代入します。

$y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)} = e^{x}$

ステップ 4.8

$y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)} = e^{x}$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.8.1

方程式を $e^{x} = y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$ として書き換えます。

$e^{x} = y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$

ステップ 4.8.2

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{x}) = \ln (y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$

ステップ 4.8.3

左辺を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.8.3.1

$x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{x})$ を展開します。

$x \ln (e) = \ln (y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$

ステップ 4.8.3.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$x \cdot 1 = \ln (y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$

ステップ 4.8.3.3

$x$ に $1$ をかけます。

$x = \ln (y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$

ステップ 4.9

方程式が真になるような解をリストします。

$x = \ln (y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$

$x = \ln (y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$

$x = \ln (y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$

$x = \ln (y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$

微分積分学準備 例

微分積分学準備例