微分積分学準備例

${(y^{2} + 4 y)}^{2} + 7 (y^{2} + 4 y) + 12 = 0$

ステップ 1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 1.1

$u = y^{2} + 4 y$ とします。 $u$ を $y^{2} + 4 y$ に代入します。

$u^{2} + 7 u + 12 = 0$

ステップ 1.2

たすき掛けを利用して $u^{2} + 7 u + 12$ を因数分解します。

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ステップ 1.2.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $12$ で、その和が $7$ です。

$3, 4$

ステップ 1.2.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(u + 3) (u + 4) = 0$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $y^{2} + 4 y$ で置き換えます。

$(y^{2} + 4 y + 3) (y^{2} + 4 y + 4) = 0$

ステップ 2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$y^{2} + 4 y + 3 = 0$

$y^{2} + 4 y + 4 = 0$

ステップ 3

$y^{2} + 4 y + 3$ を $0$ に等しくし、 $y$ を解きます。

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ステップ 3.1

$y^{2} + 4 y + 3$ が $0$ に等しいとします。

$y^{2} + 4 y + 3 = 0$

ステップ 3.2

$y$ について $y^{2} + 4 y + 3 = 0$ を解きます。

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ステップ 3.2.1

たすき掛けを利用して $y^{2} + 4 y + 3$ を因数分解します。

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ステップ 3.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $3$ で、その和が $4$ です。

$1, 3$

ステップ 3.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(y + 1) (y + 3) = 0$

ステップ 3.2.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$y + 1 = 0$

$y + 3 = 0$

ステップ 3.2.3

$y + 1$ を $0$ に等しくし、 $y$ を解きます。

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ステップ 3.2.3.1

$y + 1$ が $0$ に等しいとします。

$y + 1 = 0$

ステップ 3.2.3.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$y = - 1$

ステップ 3.2.4

$y + 3$ を $0$ に等しくし、 $y$ を解きます。

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ステップ 3.2.4.1

$y + 3$ が $0$ に等しいとします。

$y + 3 = 0$

ステップ 3.2.4.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$y = - 3$

ステップ 3.2.5

最終解は $(y + 1) (y + 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$y = - 1, - 3$

ステップ 4

$y^{2} + 4 y + 4$ を $0$ に等しくし、 $y$ を解きます。

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ステップ 4.1

$y^{2} + 4 y + 4$ が $0$ に等しいとします。

$y^{2} + 4 y + 4 = 0$

ステップ 4.2

$y$ について $y^{2} + 4 y + 4 = 0$ を解きます。

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ステップ 4.2.1

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 4.2.1.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$y^{2} + 4 y + 2^{2} = 0$

ステップ 4.2.1.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$4 y = 2 \cdot y \cdot 2$

ステップ 4.2.1.3

多項式を書き換えます。

$y^{2} + 2 \cdot y \cdot 2 + 2^{2} = 0$

ステップ 4.2.1.4

$a = y$ と $b = 2$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

${(y + 2)}^{2} = 0$

ステップ 4.2.2

$y + 2$ が $0$ に等しいとします。

$y + 2 = 0$

ステップ 4.2.3

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$y = - 2$

ステップ 5

最終解は $(y^{2} + 4 y + 3) (y^{2} + 4 y + 4) = 0$ を真にするすべての値です。

$y = - 1, - 3, - 2$

微分積分学準備 例

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