微分積分学準備例

$y = \frac{x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 5}{x^{2} + 2}$

ステップ 1

式 $\frac{x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 5}{x^{2} + 2}$ が未定義である場所を求めます。

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 2

垂直漸近線は無限が不連続になる場所で発生します。

垂直漸近線がありません

ステップ 3

$n$ が分子の次数、 $m$ が分母の次数である有理関数 $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ を考えます。

1. $n < m$ のとき、x軸 $y = 0$ は水平漸近線です。

2. $n = m$ のとき、水平漸近線は線 $y = \frac{a}{b}$ です。

3. $n > m$ のとき、水平漸近線はありません（斜めの漸近線があります）。

ステップ 4

$n$ と $m$ を求めます。

$n = 3$

$m = 2$

ステップ 5

$n > m$ なので、水平漸近線はありません。

水平漸近線がありません

ステップ 6

多項式の割り算を利用して斜めの漸近線を求めます。

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ステップ 6.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x^{2}$

$0 x$

$2$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$2 x$

$5$

ステップ 6.2

被除数 $x^{3}$ の最高次項を除数 $x^{2}$ の最高次項で割ります。

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$2$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$2 x$

$5$

ステップ 6.3

新しい商の項に除数を掛けます。

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$2$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$2 x$

$5$

$x^{3}$

$0$

$2 x$

ステップ 6.4

式は被除数から引く必要があるので、 $x^{3} + 0 + 2 x$ の符号をすべて変更します。

						$x$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$2 x$	-	$5$
					-	$x^{3}$	-	$0$	-	$2 x$

ステップ 6.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

						$x$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$2 x$	-	$5$
					-	$x^{3}$	-	$0$	-	$2 x$
							-	$4 x^{2}$	+	$0$

ステップ 6.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

						$x$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$2 x$	-	$5$
					-	$x^{3}$	-	$0$	-	$2 x$
							-	$4 x^{2}$	+	$0$	-	$5$

ステップ 6.7

被除数 $- 4 x^{2}$ の最高次項を除数 $x^{2}$ の最高次項で割ります。

						$x$	-	$4$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$2 x$	-	$5$
					-	$x^{3}$	-	$0$	-	$2 x$
							-	$4 x^{2}$	+	$0$	-	$5$

ステップ 6.8

新しい商の項に除数を掛けます。

						$x$	-	$4$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$2 x$	-	$5$
					-	$x^{3}$	-	$0$	-	$2 x$
							-	$4 x^{2}$	+	$0$	-	$5$
							-	$4 x^{2}$	+	$0$	-	$8$

ステップ 6.9

式は被除数から引く必要があるので、 $- 4 x^{2} + 0 - 8$ の符号をすべて変更します。

						$x$	-	$4$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$2 x$	-	$5$
					-	$x^{3}$	-	$0$	-	$2 x$
							-	$4 x^{2}$	+	$0$	-	$5$
							+	$4 x^{2}$	-	$0$	+	$8$

ステップ 6.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

						$x$	-	$4$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$2 x$	-	$5$
					-	$x^{3}$	-	$0$	-	$2 x$
							-	$4 x^{2}$	+	$0$	-	$5$
							+	$4 x^{2}$	-	$0$	+	$8$
											+	$3$

ステップ 6.11

最終的な答えは商と除数の余りを足したものです。

$x - 4 + \frac{3}{x^{2} + 2}$

ステップ 6.12

斜めの漸近線は、筆算での除算の結果の多項式部分です。

$y = x - 4$

ステップ 7

すべての漸近線の集合です。

垂直漸近線がありません

水平漸近線がありません

斜めの漸近線： $y = x - 4$

ステップ 8

微分積分学準備 例

微分積分学準備例