微分積分学準備例

$f (x) = x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2}$

ステップ 1

$x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2}$ が $0$ に等しいとします。

$x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} = 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.1.1

$x^{2}$ を $x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 2.1.1.1

$x^{2}$ を $x^{4}$ で因数分解します。

$x^{2} x^{2} - 8 x^{3} + 16 x^{2} = 0$

ステップ 2.1.1.2

$x^{2}$ を $- 8 x^{3}$ で因数分解します。

$x^{2} x^{2} + x^{2} (- 8 x) + 16 x^{2} = 0$

ステップ 2.1.1.3

$x^{2}$ を $16 x^{2}$ で因数分解します。

$x^{2} x^{2} + x^{2} (- 8 x) + x^{2} \cdot 16 = 0$

ステップ 2.1.1.4

$x^{2}$ を $x^{2} x^{2} + x^{2} (- 8 x)$ で因数分解します。

$x^{2} (x^{2} - 8 x) + x^{2} \cdot 16 = 0$

ステップ 2.1.1.5

$x^{2}$ を $x^{2} (x^{2} - 8 x) + x^{2} \cdot 16$ で因数分解します。

$x^{2} (x^{2} - 8 x + 16) = 0$

ステップ 2.1.2

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 2.1.2.1

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$x^{2} (x^{2} - 8 x + 4^{2}) = 0$

ステップ 2.1.2.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

ステップ 2.1.2.3

多項式を書き換えます。

$x^{2} (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

ステップ 2.1.2.4

$a = x$ と $b = 4$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$x^{2} {(x - 4)}^{2} = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x^{2} = 0$

${(x - 4)}^{2} = 0$

ステップ 2.3

$x^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.3.1

$x^{2}$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} = 0$

ステップ 2.3.2

$x$ について $x^{2} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

ステップ 2.3.2.2

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

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ステップ 2.3.2.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 2.3.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 2.3.2.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 2.4

${(x - 4)}^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

${(x - 4)}^{2}$ が $0$ に等しいとします。

${(x - 4)}^{2} = 0$

ステップ 2.4.2

$x$ について ${(x - 4)}^{2} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.4.2.1

$x - 4$ が $0$ に等しいとします。

$x - 4 = 0$

ステップ 2.4.2.2

方程式の両辺に $4$ を足します。

$x = 4$

ステップ 2.5

最終解は $x^{2} {(x - 4)}^{2} = 0$ を真にするすべての値です。根の重複度は根が出現する回数です。

$x = 0$ （ $2$ の重複度）

$x = 4$ （ $2$ の重複度）

$x = 0$ （ $2$ の重複度）

$x = 4$ （ $2$ の重複度）

ステップ 3

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