微分積分学準備例

$f (x) = x^{4} + 6 x^{2} - 27$

ステップ 1

$x^{4} + 6 x^{2} - 27$ が $0$ に等しいとします。

$x^{4} + 6 x^{2} - 27 = 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

$u = x^{2}$ を方程式に代入します。これにより二次方程式の解の公式を利用しやすくします。

$u^{2} + 6 u - 27 = 0$

$u = x^{2}$

ステップ 2.2

たすき掛けを利用して $u^{2} + 6 u - 27$ を因数分解します。

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ステップ 2.2.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 27$ で、その和が $6$ です。

$- 3, 9$

ステップ 2.2.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(u - 3) (u + 9) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$u - 3 = 0$

$u + 9 = 0$

ステップ 2.4

$u - 3$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

$u - 3$ が $0$ に等しいとします。

$u - 3 = 0$

ステップ 2.4.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$u = 3$

ステップ 2.5

$u + 9$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$u + 9$ が $0$ に等しいとします。

$u + 9 = 0$

ステップ 2.5.2

方程式の両辺から $9$ を引きます。

$u = - 9$

ステップ 2.6

最終解は $(u - 3) (u + 9) = 0$ を真にするすべての値です。根の重複度は根が出現する回数です。

$u = 3$ （ $1$ の重複度）

$u = - 9$ （ $1$ の重複度）

ステップ 2.7

$u = x^{2}$ の実数を解いた方程式に代入して戻します。

$x^{2} = 3$

${(x^{2})}^{1} = - 9$

ステップ 2.8

$x$ について第1方程式を解きます。

$x^{2} = 3$

ステップ 2.9

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 2.9.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3}$

ステップ 2.9.2

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 2.9.2.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \sqrt{3}$

ステップ 2.9.2.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \sqrt{3}$

ステップ 2.9.2.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

ステップ 2.9.3

根の多重度は、根が現れる回数です。例えば、 ${(x + 5)}^{3}$ の因数は $x = - 5$ に根があり、その多重度は $3$ です。

$x = \sqrt{3}$ （ $1$ の重複度）

$x = - \sqrt{3}$ （ $1$ の重複度）

$x = \sqrt{3}$ （ $1$ の重複度）

$x = - \sqrt{3}$ （ $1$ の重複度）

ステップ 2.10

$x$ について二次方程式を解きます。

${(x^{2})}^{1} = - 9$

ステップ 2.11

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 2.11.1

括弧を削除します。

$x^{2} = - 9$

ステップ 2.11.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 9}$

ステップ 2.11.3

$\pm \sqrt{- 9}$ を簡約します。

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ステップ 2.11.3.1

$- 9$ を $- 1 (9)$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1 (9)}$

ステップ 2.11.3.2

$\sqrt{- 1 (9)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$

ステップ 2.11.3.3

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \pm i \cdot \sqrt{9}$

ステップ 2.11.3.4

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2}}$

ステップ 2.11.3.5

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm i \cdot 3$

ステップ 2.11.3.6

$3$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \pm 3 i$

ステップ 2.11.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 2.11.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 3 i$

ステップ 2.11.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 3 i$

ステップ 2.11.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 3 i, - 3 i$

ステップ 2.11.5

根の多重度は、根が現れる回数です。例えば、 ${(x + 5)}^{3}$ の因数は $x = - 5$ に根があり、その多重度は $3$ です。

$x = 3 i$ （ $1$ の重複度）

$x = - 3 i$ （ $1$ の重複度）

$x = 3 i$ （ $1$ の重複度）

$x = - 3 i$ （ $1$ の重複度）

ステップ 2.12

$x^{4} + 6 x^{2} - 27 = 0$ の解は $x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, 3 i, - 3 i$ です。

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, 3 i, - 3 i$

ステップ 3

微分積分学準備 例

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