微分積分学準備例

$f (x) = x^{2} e^{x} - 4 e^{x}$

ステップ 1

$x^{2} e^{x} - 4 e^{x}$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} e^{x} - 4 e^{x} = 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.1.1

$e^{x}$ を $x^{2} e^{x} - 4 e^{x}$ で因数分解します。

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ステップ 2.1.1.1

$e^{x}$ を $x^{2} e^{x}$ で因数分解します。

$e^{x} x^{2} - 4 e^{x} = 0$

ステップ 2.1.1.2

$e^{x}$ を $- 4 e^{x}$ で因数分解します。

$e^{x} x^{2} + e^{x} \cdot - 4 = 0$

ステップ 2.1.1.3

$e^{x}$ を $e^{x} x^{2} + e^{x} \cdot - 4$ で因数分解します。

$e^{x} (x^{2} - 4) = 0$

ステップ 2.1.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$e^{x} (x^{2} - 2^{2}) = 0$

ステップ 2.1.3

因数分解。

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ステップ 2.1.3.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 2$ です。

$e^{x} ((x + 2) (x - 2)) = 0$

ステップ 2.1.3.2

不要な括弧を削除します。

$e^{x} (x + 2) (x - 2) = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$e^{x} = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

ステップ 2.3

$e^{x}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.3.1

$e^{x}$ が $0$ に等しいとします。

$e^{x} = 0$

ステップ 2.3.2

$x$ について $e^{x} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.3.2.1

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

ステップ 2.3.2.2

$\ln (0)$ が未定義なので、方程式は解くことができません。

未定義

ステップ 2.3.2.3

$e^{x} = 0$ の解はありません

解がありません

ステップ 2.4

$x + 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

$x + 2$ が $0$ に等しいとします。

$x + 2 = 0$

ステップ 2.4.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x = - 2$

ステップ 2.5

$x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 2.5.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 2.6

最終解は $e^{x} (x + 2) (x - 2) = 0$ を真にするすべての値です。根の重複度は根が出現する回数です。

$x = - 2$ （ $1$ の重複度）

$x = 2$ （ $1$ の重複度）

$x = - 2$ （ $1$ の重複度）

$x = 2$ （ $1$ の重複度）

ステップ 3

微分積分学準備 例

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