微分積分学準備例

$p (x) = 3 x^{4} + 7 x^{3} - 10 x^{2} - 28 x - 8$

ステップ 1

$3 x^{4} + 7 x^{3} - 10 x^{2} - 28 x - 8$ が $0$ に等しいとします。

$3 x^{4} + 7 x^{3} - 10 x^{2} - 28 x - 8 = 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

項を再分類します。

$7 x^{3} - 28 x + 3 x^{4} - 10 x^{2} - 8 = 0$

ステップ 2.1.2

$7 x$ を $7 x^{3} - 28 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

$7 x$ を $7 x^{3}$ で因数分解します。

$7 x (x^{2}) - 28 x + 3 x^{4} - 10 x^{2} - 8 = 0$

ステップ 2.1.2.2

$7 x$ を $- 28 x$ で因数分解します。

$7 x (x^{2}) + 7 x (- 4) + 3 x^{4} - 10 x^{2} - 8 = 0$

ステップ 2.1.2.3

$7 x$ を $7 x (x^{2}) + 7 x (- 4)$ で因数分解します。

$7 x (x^{2} - 4) + 3 x^{4} - 10 x^{2} - 8 = 0$

ステップ 2.1.3

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$7 x (x^{2} - 2^{2}) + 3 x^{4} - 10 x^{2} - 8 = 0$

ステップ 2.1.4

因数分解。

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ステップ 2.1.4.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 2$ です。

$7 x ((x + 2) (x - 2)) + 3 x^{4} - 10 x^{2} - 8 = 0$

ステップ 2.1.4.2

不要な括弧を削除します。

$7 x (x + 2) (x - 2) + 3 x^{4} - 10 x^{2} - 8 = 0$

ステップ 2.1.5

$x^{4}$ を ${(x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$7 x (x + 2) (x - 2) + 3 {(x^{2})}^{2} - 10 x^{2} - 8 = 0$

ステップ 2.1.6

$u = x^{2}$ とします。 $u$ を $x^{2}$ に代入します。

$7 x (x + 2) (x - 2) + 3 u^{2} - 10 u - 8 = 0$

ステップ 2.1.7

群による因数分解。

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ステップ 2.1.7.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 3 \cdot - 8 = - 24$ で和が $b = - 10$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.7.1.1

$- 10$ を $- 10 u$ で因数分解します。

$7 x (x + 2) (x - 2) + 3 u^{2} - 10 u - 8 = 0$

ステップ 2.1.7.1.2

$- 10$ を $2$ プラス $- 12$ に書き換える

$7 x (x + 2) (x - 2) + 3 u^{2} + (2 - 12) u - 8 = 0$

ステップ 2.1.7.1.3

分配則を当てはめます。

$7 x (x + 2) (x - 2) + 3 u^{2} + 2 u - 12 u - 8 = 0$

ステップ 2.1.7.2

各群から最大公約数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.7.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$7 x (x + 2) (x - 2) + 3 u^{2} + 2 u - 12 u - 8 = 0$

ステップ 2.1.7.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$7 x (x + 2) (x - 2) + u (3 u + 2) - 4 (3 u + 2) = 0$

ステップ 2.1.7.3

最大公約数 $3 u + 2$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$7 x (x + 2) (x - 2) + (3 u + 2) (u - 4) = 0$

ステップ 2.1.8

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$7 x (x + 2) (x - 2) + (3 x^{2} + 2) (x^{2} - 4) = 0$

ステップ 2.1.9

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$7 x (x + 2) (x - 2) + (3 x^{2} + 2) (x^{2} - 2^{2}) = 0$

ステップ 2.1.10

因数分解。

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ステップ 2.1.10.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 2$ です。

$7 x (x + 2) (x - 2) + (3 x^{2} + 2) ((x + 2) (x - 2)) = 0$

ステップ 2.1.10.2

不要な括弧を削除します。

$7 x (x + 2) (x - 2) + (3 x^{2} + 2) (x + 2) (x - 2) = 0$

ステップ 2.1.11

$(x + 2) (x - 2)$ を $7 x (x + 2) (x - 2) + (3 x^{2} + 2) (x + 2) (x - 2)$ で因数分解します。

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ステップ 2.1.11.1

$(x + 2) (x - 2)$ を $7 x (x + 2) (x - 2)$ で因数分解します。

$(x + 2) (x - 2) (7 x) + (3 x^{2} + 2) (x + 2) (x - 2) = 0$

ステップ 2.1.11.2

$(x + 2) (x - 2)$ を $(3 x^{2} + 2) (x + 2) (x - 2)$ で因数分解します。

$(x + 2) (x - 2) (7 x) + (x + 2) (x - 2) (3 x^{2} + 2) = 0$

ステップ 2.1.11.3

$(x + 2) (x - 2)$ を $(x + 2) (x - 2) (7 x) + (x + 2) (x - 2) (3 x^{2} + 2)$ で因数分解します。

$(x + 2) (x - 2) (7 x + 3 x^{2} + 2) = 0$

ステップ 2.1.12

$u = x$ とします。 $u$ を $x$ に代入します。

$(x + 2) (x - 2) (7 u + 3 u^{2} + 2) = 0$

ステップ 2.1.13

群による因数分解。

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ステップ 2.1.13.1

項を並べ替えます。

$(x + 2) (x - 2) (3 u^{2} + 7 u + 2) = 0$

ステップ 2.1.13.2

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 3 \cdot 2 = 6$ で和が $b = 7$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 2.1.13.2.1

$7$ を $7 u$ で因数分解します。

$(x + 2) (x - 2) (3 u^{2} + 7 (u) + 2) = 0$

ステップ 2.1.13.2.2

$7$ を $1$ プラス $6$ に書き換える

$(x + 2) (x - 2) (3 u^{2} + (1 + 6) u + 2) = 0$

ステップ 2.1.13.2.3

分配則を当てはめます。

$(x + 2) (x - 2) (3 u^{2} + 1 u + 6 u + 2) = 0$

ステップ 2.1.13.2.4

$u$ に $1$ をかけます。

$(x + 2) (x - 2) (3 u^{2} + u + 6 u + 2) = 0$

ステップ 2.1.13.3

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 2.1.13.3.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(x + 2) (x - 2) ((3 u^{2} + u) + 6 u + 2) = 0$

ステップ 2.1.13.3.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$(x + 2) (x - 2) (u (3 u + 1) + 2 (3 u + 1)) = 0$

ステップ 2.1.13.4

最大公約数 $3 u + 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(x + 2) (x - 2) ((3 u + 1) (u + 2)) = 0$

ステップ 2.1.14

因数分解。

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ステップ 2.1.14.1

$u$ のすべての発生を $x$ で置き換えます。

$(x + 2) (x - 2) ((3 x + 1) (x + 2)) = 0$

ステップ 2.1.14.2

不要な括弧を削除します。

$(x + 2) (x - 2) (3 x + 1) (x + 2) = 0$

ステップ 2.1.15

指数をまとめます。

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ステップ 2.1.15.1

$x + 2$ を $1$ 乗します。

$(x + 2) (x + 2) (x - 2) (3 x + 1) = 0$

ステップ 2.1.15.2

$x + 2$ を $1$ 乗します。

$(x + 2) (x + 2) (x - 2) (3 x + 1) = 0$

ステップ 2.1.15.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

${(x + 2)}^{1 + 1} (x - 2) (3 x + 1) = 0$

ステップ 2.1.15.4

$1$ と $1$ をたし算します。

${(x + 2)}^{2} (x - 2) (3 x + 1) = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

${(x + 2)}^{2} = 0$

$x - 2 = 0$

$3 x + 1 = 0$

ステップ 2.3

${(x + 2)}^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.3.1

${(x + 2)}^{2}$ が $0$ に等しいとします。

${(x + 2)}^{2} = 0$

ステップ 2.3.2

$x$ について ${(x + 2)}^{2} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.3.2.1

$x + 2$ が $0$ に等しいとします。

$x + 2 = 0$

ステップ 2.3.2.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x = - 2$

ステップ 2.4

$x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 2.4.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 2.5

$3 x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$3 x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$3 x + 1 = 0$

ステップ 2.5.2

$x$ について $3 x + 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.5.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$3 x = - 1$

ステップ 2.5.2.2

$3 x = - 1$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.5.2.2.1

$3 x = - 1$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

ステップ 2.5.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.5.2.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.5.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

ステップ 2.5.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 1}{3}$

ステップ 2.5.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.5.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{1}{3}$

ステップ 2.6

最終解は ${(x + 2)}^{2} (x - 2) (3 x + 1) = 0$ を真にするすべての値です。根の重複度は根が出現する回数です。

$x = - 2$ （ $2$ の重複度）

$x = 2$ （ $1$ の重複度）

$x = - \frac{1}{3}$ （ $1$ の重複度）

$x = - 2$ （ $2$ の重複度）

$x = 2$ （ $1$ の重複度）

$x = - \frac{1}{3}$ （ $1$ の重複度）

ステップ 3

微分積分学準備 例

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