微分積分学準備例

$2 \sin^{2} (θ) = 3 (1 - \cos (- θ))$

ステップ 1

右辺を簡約します。

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ステップ 1.1

$3 (1 - \cos (- θ))$ を簡約します。

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ステップ 1.1.1

$\cos (- θ)$ が偶関数なので、 $\cos (- θ)$ を $\cos (θ)$ に書き換えます。

$2 \sin^{2} (θ) = 3 (1 - \cos (θ))$

ステップ 1.1.2

分配則を当てはめます。

$2 \sin^{2} (θ) = 3 \cdot 1 + 3 (- \cos (θ))$

ステップ 1.1.3

掛け算します。

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ステップ 1.1.3.1

$3$ に $1$ をかけます。

$2 \sin^{2} (θ) = 3 + 3 (- \cos (θ))$

ステップ 1.1.3.2

$- 1$ に $3$ をかけます。

$2 \sin^{2} (θ) = 3 - 3 \cos (θ)$

ステップ 2

すべての式を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 2.1

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$2 \sin^{2} (θ) - 3 = - 3 \cos (θ)$

ステップ 2.2

方程式の両辺に $3 \cos (θ)$ を足します。

$2 \sin^{2} (θ) - 3 + 3 \cos (θ) = 0$

ステップ 3

$\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ 恒等式に基づいて $2 \sin^{2} (θ)$ を $2 (1 - \cos^{2} (θ))$ で置き換えます。

$2 (1 - \cos^{2} (θ)) - 3 + 3 \cos (θ) = 0$

ステップ 4

各項を簡約します。

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ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$2 \cdot 1 + 2 (- \cos^{2} (θ)) - 3 + 3 \cos (θ) = 0$

ステップ 4.2

$2$ に $1$ をかけます。

$2 + 2 (- \cos^{2} (θ)) - 3 + 3 \cos (θ) = 0$

ステップ 4.3

$- 1$ に $2$ をかけます。

$2 - 2 \cos^{2} (θ) - 3 + 3 \cos (θ) = 0$

ステップ 5

$2$ から $3$ を引きます。

$- 2 \cos^{2} (θ) - 1 + 3 \cos (θ) = 0$

ステップ 6

多項式を並べ替えます。

$- 2 \cos^{2} (θ) + 3 \cos (θ) - 1 = 0$

ステップ 7

$u$ を $\cos (θ)$ に代入します。

$- 2 {(u)}^{2} + 3 (u) - 1 = 0$

ステップ 8

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 8.1

$- 1$ を $- 2 u^{2} + 3 u - 1$ で因数分解します。

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ステップ 8.1.1

$- 1$ を $- 2 u^{2}$ で因数分解します。

$- (2 u^{2}) + 3 u - 1 = 0$

ステップ 8.1.2

$- 1$ を $3 u$ で因数分解します。

$- (2 u^{2}) - (- 3 u) - 1 = 0$

ステップ 8.1.3

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$- (2 u^{2}) - (- 3 u) - 1 \cdot 1 = 0$

ステップ 8.1.4

$- 1$ を $- (2 u^{2}) - (- 3 u)$ で因数分解します。

$- (2 u^{2} - 3 u) - 1 \cdot 1 = 0$

ステップ 8.1.5

$- 1$ を $- (2 u^{2} - 3 u) - 1 (1)$ で因数分解します。

$- (2 u^{2} - 3 u + 1) = 0$

ステップ 8.2

因数分解。

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ステップ 8.2.1

群による因数分解。

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ステップ 8.2.1.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 2 \cdot 1 = 2$ で和が $b = - 3$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 8.2.1.1.1

$- 3$ を $- 3 u$ で因数分解します。

$- (2 u^{2} - 3 u + 1) = 0$

ステップ 8.2.1.1.2

$- 3$ を $- 1$ プラス $- 2$ に書き換える

$- (2 u^{2} + (- 1 - 2) u + 1) = 0$

ステップ 8.2.1.1.3

分配則を当てはめます。

$- (2 u^{2} - 1 u - 2 u + 1) = 0$

ステップ 8.2.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 8.2.1.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$- (2 u^{2} - 1 u - 2 u + 1) = 0$

ステップ 8.2.1.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$- (u (2 u - 1) - (2 u - 1)) = 0$

ステップ 8.2.1.3

最大公約数 $2 u - 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$- ((2 u - 1) (u - 1)) = 0$

ステップ 8.2.2

不要な括弧を削除します。

$- (2 u - 1) (u - 1) = 0$

ステップ 9

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$2 u - 1 = 0$

$u - 1 = 0$

ステップ 10

$2 u - 1$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

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ステップ 10.1

$2 u - 1$ が $0$ に等しいとします。

$2 u - 1 = 0$

ステップ 10.2

$u$ について $2 u - 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 10.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$2 u = 1$

ステップ 10.2.2

$2 u = 1$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 10.2.2.1

$2 u = 1$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

ステップ 10.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 10.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 10.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

ステップ 10.2.2.2.1.2

$u$ を $1$ で割ります。

$u = \frac{1}{2}$

ステップ 11

$u - 1$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

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ステップ 11.1

$u - 1$ が $0$ に等しいとします。

$u - 1 = 0$

ステップ 11.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$u = 1$

ステップ 12

最終解は $- (2 u - 1) (u - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$u = \frac{1}{2}, 1$

ステップ 13

$\cos (θ)$ を $u$ に代入します。

$\cos (θ) = \frac{1}{2}, 1$

ステップ 14

各解を求め、 $θ$ を解きます。

$\cos (θ) = \frac{1}{2}$

$\cos (θ) = 1$

ステップ 15

$\cos (θ) = \frac{1}{2}$ の $θ$ について解きます。

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ステップ 15.1

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $θ$ を取り出します。

$θ = \arccos (\frac{1}{2})$

ステップ 15.2

右辺を簡約します。

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ステップ 15.2.1

$\arccos (\frac{1}{2})$ の厳密値は $\frac{π}{3}$ です。

$θ = \frac{π}{3}$

ステップ 15.3

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$θ = 2 π - \frac{π}{3}$

ステップ 15.4

$2 π - \frac{π}{3}$ を簡約します。

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ステップ 15.4.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$θ = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

ステップ 15.4.2

分数をまとめます。

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ステップ 15.4.2.1

$2 π$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$θ = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

ステップ 15.4.2.2

公分母の分子をまとめます。

$θ = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

ステップ 15.4.3

分子を簡約します。

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ステップ 15.4.3.1

$3$ に $2$ をかけます。

$θ = \frac{6 π - π}{3}$

ステップ 15.4.3.2

$6 π$ から $π$ を引きます。

$θ = \frac{5 π}{3}$

ステップ 15.5

$\cos (θ)$ の周期を求めます。

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ステップ 15.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 15.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 15.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 15.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 15.6

$\cos (θ)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$θ = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 16

$\cos (θ) = 1$ の $θ$ について解きます。

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ステップ 16.1

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $θ$ を取り出します。

$θ = \arccos (1)$

ステップ 16.2

右辺を簡約します。

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ステップ 16.2.1

$\arccos (1)$ の厳密値は $0$ です。

$θ = 0$

ステップ 16.3

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$θ = 2 π - 0$

ステップ 16.4

$2 π$ から $0$ を引きます。

$θ = 2 π$

ステップ 16.5

$\cos (θ)$ の周期を求めます。

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ステップ 16.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 16.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 16.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 16.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 16.6

$\cos (θ)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$θ = 2 π n, 2 π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 17

すべての解をまとめます。

$θ = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 18

$2 π + 2 π n$ と $2 π n$ を $2 π n$ にまとめます。

$θ = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n, 2 π n$ 、任意の整数 $n$

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