微分積分学準備例

$e^{x} + 2 = 8 e^{- x}$

ステップ 1

方程式の両辺から $8 e^{- x}$ を引きます。

$e^{x} + 2 - 8 e^{- x} = 0$

ステップ 2

$e^{- x}$ を累乗法として書き換えます。

$e^{x} + 2 - 8 {(e^{x})}^{- 1} = 0$

ステップ 3

$u$ を $e^{x}$ に代入します。

$u + 2 - 8 u^{- 1} = 0$

ステップ 4

各項を簡約します。

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ステップ 4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$u + 2 - 8 \frac{1}{u} = 0$

ステップ 4.2

$- 8$ と $\frac{1}{u}$ をまとめます。

$u + 2 + \frac{- 8}{u} = 0$

ステップ 4.3

分数の前に負数を移動させます。

$u + 2 - \frac{8}{u} = 0$

ステップ 5

$u$ について解きます。

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ステップ 5.1

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 5.1.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$1, 1, u, 1$

ステップ 5.1.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$u$

ステップ 5.2

$u + 2 - \frac{8}{u} = 0$ の各項に $u$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 5.2.1

$u + 2 - \frac{8}{u} = 0$ の各項に $u$ を掛けます。

$u \cdot u + 2 u - \frac{8}{u} u = 0 u$

ステップ 5.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1.1

$u$ に $u$ をかけます。

$u^{2} + 2 u - \frac{8}{u} u = 0 u$

ステップ 5.2.2.1.2

$u$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.1.2.1

$- \frac{8}{u}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$u^{2} + 2 u + \frac{- 8}{u} u = 0 u$

ステップ 5.2.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$u^{2} + 2 u + \frac{- 8}{u} u = 0 u$

ステップ 5.2.2.1.2.3

式を書き換えます。

$u^{2} + 2 u - 8 = 0 u$

ステップ 5.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.2.3.1

$0$ に $u$ をかけます。

$u^{2} + 2 u - 8 = 0$

ステップ 5.3

方程式を解きます。

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ステップ 5.3.1

たすき掛けを利用して $u^{2} + 2 u - 8$ を因数分解します。

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ステップ 5.3.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 8$ で、その和が $2$ です。

$- 2, 4$

ステップ 5.3.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(u - 2) (u + 4) = 0$

ステップ 5.3.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$u - 2 = 0$

$u + 4 = 0$

ステップ 5.3.3

$u - 2$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

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ステップ 5.3.3.1

$u - 2$ が $0$ に等しいとします。

$u - 2 = 0$

ステップ 5.3.3.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$u = 2$

ステップ 5.3.4

$u + 4$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

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ステップ 5.3.4.1

$u + 4$ が $0$ に等しいとします。

$u + 4 = 0$

ステップ 5.3.4.2

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$u = - 4$

ステップ 5.3.5

最終解は $(u - 2) (u + 4) = 0$ を真にするすべての値です。

$u = 2, - 4$

ステップ 6

$2$ を $u = e^{x}$ の中の $u$ に代入します。

$2 = e^{x}$

ステップ 7

$2 = e^{x}$ を解きます。

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ステップ 7.1

方程式を $e^{x} = 2$ として書き換えます。

$e^{x} = 2$

ステップ 7.2

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{x}) = \ln (2)$

ステップ 7.3

左辺を展開します。

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ステップ 7.3.1

$x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{x})$ を展開します。

$x \ln (e) = \ln (2)$

ステップ 7.3.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$x \cdot 1 = \ln (2)$

ステップ 7.3.3

$x$ に $1$ をかけます。

$x = \ln (2)$

ステップ 8

$- 4$ を $u = e^{x}$ の中の $u$ に代入します。

$- 4 = e^{x}$

ステップ 9

$- 4 = e^{x}$ を解きます。

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ステップ 9.1

方程式を $e^{x} = - 4$ として書き換えます。

$e^{x} = - 4$

ステップ 9.2

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{x}) = \ln (- 4)$

ステップ 9.3

$\ln (- 4)$ が未定義なので、方程式は解くことができません。

未定義

ステップ 9.4

$e^{x} = - 4$ の解はありません

解がありません

ステップ 10

方程式が真になるような解をリストします。

$x = \ln (2)$

ステップ 11

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$x = \ln (2)$

10進法形式：

$x = 0.69314718 \dots$

微分積分学準備 例

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