微分積分学準備例

$2 x^{3} - 3 x^{2} - 17 x + 30$

ステップ 1

有理根検定を用いて $2 x^{3} - 3 x^{2} - 17 x + 30$ を因数分解します。

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ステップ 1.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 30, \pm 2, \pm 15, \pm 3, \pm 10, \pm 5, \pm 6$

$q = \pm 1, \pm 2$

ステップ 1.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 30, \pm 15, \pm 2, \pm 7.5, \pm 3, \pm 1.5, \pm 10, \pm 5, \pm 2.5, \pm 6$

ステップ 1.3

$2$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $2$ は多項式の根です。

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ステップ 1.3.1

$2$ を多項式に代入します。

$2 \cdot 2^{3} - 3 \cdot 2^{2} - 17 \cdot 2 + 30$

ステップ 1.3.2

$2$ を $3$ 乗します。

$2 \cdot 8 - 3 \cdot 2^{2} - 17 \cdot 2 + 30$

ステップ 1.3.3

$2$ に $8$ をかけます。

$16 - 3 \cdot 2^{2} - 17 \cdot 2 + 30$

ステップ 1.3.4

$2$ を $2$ 乗します。

$16 - 3 \cdot 4 - 17 \cdot 2 + 30$

ステップ 1.3.5

$- 3$ に $4$ をかけます。

$16 - 12 - 17 \cdot 2 + 30$

ステップ 1.3.6

$16$ から $12$ を引きます。

$4 - 17 \cdot 2 + 30$

ステップ 1.3.7

$- 17$ に $2$ をかけます。

$4 - 34 + 30$

ステップ 1.3.8

$4$ から $34$ を引きます。

$- 30 + 30$

ステップ 1.3.9

$- 30$ と $30$ をたし算します。

$0$

ステップ 1.4

$2$ は既知の根なので、多項式を $x - 2$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 17 x + 30}{x - 2}$

ステップ 1.5

$2 x^{3} - 3 x^{2} - 17 x + 30$ を $x - 2$ で割ります。

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ステップ 1.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

$2$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$17 x$

$30$

ステップ 1.5.2

被除数 $2 x^{3}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

					$2 x^{2}$
	$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$17 x$	+	$30$

ステップ 1.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$2 x^{2}$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$17 x$	+	$30$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$

ステップ 1.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $2 x^{3} - 4 x^{2}$ の符号をすべて変更します。

				$2 x^{2}$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$17 x$	+	$30$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$

ステップ 1.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$2 x^{2}$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$17 x$	+	$30$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$x^{2}$

ステップ 1.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$2 x^{2}$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$17 x$	+	$30$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$17 x$

ステップ 1.5.7

被除数 $x^{2}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$2 x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$17 x$	+	$30$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$17 x$

ステップ 1.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$2 x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$17 x$	+	$30$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$17 x$
					+	$x^{2}$	-	$2 x$

ステップ 1.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $x^{2} - 2 x$ の符号をすべて変更します。

				$2 x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$17 x$	+	$30$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$17 x$
					-	$x^{2}$	+	$2 x$

ステップ 1.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$2 x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$17 x$	+	$30$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$17 x$
					-	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$15 x$

ステップ 1.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$2 x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$17 x$	+	$30$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$17 x$
					-	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$15 x$	+	$30$

ステップ 1.5.12

被除数 $- 15 x$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$2 x^{2}$	+	$x$	-	$15$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$17 x$	+	$30$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$17 x$
					-	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$15 x$	+	$30$

ステップ 1.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

				$2 x^{2}$	+	$x$	-	$15$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$17 x$	+	$30$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$17 x$
					-	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$15 x$	+	$30$
							-	$15 x$	+	$30$

ステップ 1.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $- 15 x + 30$ の符号をすべて変更します。

				$2 x^{2}$	+	$x$	-	$15$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$17 x$	+	$30$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$17 x$
					-	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$15 x$	+	$30$
							+	$15 x$	-	$30$

ステップ 1.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$2 x^{2}$	+	$x$	-	$15$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$17 x$	+	$30$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$17 x$
					-	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$15 x$	+	$30$
							+	$15 x$	-	$30$
										$0$

ステップ 1.5.16

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$2 x^{2} + x - 15$

ステップ 1.6

$2 x^{3} - 3 x^{2} - 17 x + 30$ を因数の集合として書き換えます。

$(x - 2) (2 x^{2} + x - 15)$

ステップ 2

群による因数分解。

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ステップ 2.1

群による因数分解。

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ステップ 2.1.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 2 \cdot - 15 = - 30$ で和が $b = 1$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 2.1.1.1

$1$ を掛けます。

$(x - 2) (2 x^{2} + 1 x - 15)$

ステップ 2.1.1.2

$1$ を $- 5$ プラス $6$ に書き換える

$(x - 2) (2 x^{2} + (- 5 + 6) x - 15)$

ステップ 2.1.1.3

分配則を当てはめます。

$(x - 2) (2 x^{2} - 5 x + 6 x - 15)$

ステップ 2.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 2.1.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(x - 2) ((2 x^{2} - 5 x) + 6 x - 15)$

ステップ 2.1.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$(x - 2) (x (2 x - 5) + 3 (2 x - 5))$

ステップ 2.1.3

最大公約数 $2 x - 5$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(x - 2) ((2 x - 5) (x + 3))$

ステップ 2.2

不要な括弧を削除します。

$(x - 2) (2 x - 5) (x + 3)$

微分積分学準備 例

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