微分積分学準備例

$2 x^{3} - 3 x^{2} - 32 x - 15$

ステップ 1

有理根検定を用いて $2 x^{3} - 3 x^{2} - 32 x - 15$ を因数分解します。

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ステップ 1.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 15, \pm 3, \pm 5$

$q = \pm 1, \pm 2$

ステップ 1.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 15, \pm 7.5, \pm 3, \pm 1.5, \pm 5, \pm 2.5$

ステップ 1.3

$- 0.5$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $- 0.5$ は多項式の根です。

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ステップ 1.3.1

$- 0.5$ を多項式に代入します。

$2 {(- 0.5)}^{3} - 3 {(- 0.5)}^{2} - 32 \cdot - 0.5 - 15$

ステップ 1.3.2

$- 0.5$ を $3$ 乗します。

$2 \cdot - 0.125 - 3 {(- 0.5)}^{2} - 32 \cdot - 0.5 - 15$

ステップ 1.3.3

$2$ に $- 0.125$ をかけます。

$- 0.25 - 3 {(- 0.5)}^{2} - 32 \cdot - 0.5 - 15$

ステップ 1.3.4

$- 0.5$ を $2$ 乗します。

$- 0.25 - 3 \cdot 0.25 - 32 \cdot - 0.5 - 15$

ステップ 1.3.5

$- 3$ に $0.25$ をかけます。

$- 0.25 - 0.75 - 32 \cdot - 0.5 - 15$

ステップ 1.3.6

$- 0.25$ から $0.75$ を引きます。

$- 1 - 32 \cdot - 0.5 - 15$

ステップ 1.3.7

$- 32$ に $- 0.5$ をかけます。

$- 1 + 16 - 15$

ステップ 1.3.8

$- 1$ と $16$ をたし算します。

$15 - 15$

ステップ 1.3.9

$15$ から $15$ を引きます。

$0$

ステップ 1.4

$- 0.5$ は既知の根なので、多項式を $2 x + 1$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 32 x - 15}{2 x + 1}$

ステップ 1.5

$2 x^{3} - 3 x^{2} - 32 x - 15$ を $2 x + 1$ で割ります。

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ステップ 1.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$2 x$

$1$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$32 x$

$15$

ステップ 1.5.2

被除数 $2 x^{3}$ の最高次項を除数 $2 x$ の最高次項で割ります。

					$x^{2}$
	$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$32 x$	-	$15$

ステップ 1.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$32 x$	-	$15$
			+	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$

ステップ 1.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $2 x^{3} + x^{2}$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$32 x$	-	$15$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$

ステップ 1.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$32 x$	-	$15$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$

ステップ 1.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$32 x$	-	$15$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	-	$32 x$

ステップ 1.5.7

被除数 $- 4 x^{2}$ の最高次項を除数 $2 x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	-	$2 x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$32 x$	-	$15$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	-	$32 x$

ステップ 1.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	-	$2 x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$32 x$	-	$15$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	-	$32 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$2 x$

ステップ 1.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $- 4 x^{2} - 2 x$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	-	$2 x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$32 x$	-	$15$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	-	$32 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$2 x$

ステップ 1.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	-	$2 x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$32 x$	-	$15$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	-	$32 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$30 x$

ステップ 1.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$	-	$2 x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$32 x$	-	$15$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	-	$32 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$30 x$	-	$15$

ステップ 1.5.12

被除数 $- 30 x$ の最高次項を除数 $2 x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$15$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$32 x$	-	$15$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	-	$32 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$30 x$	-	$15$

ステップ 1.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$15$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$32 x$	-	$15$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	-	$32 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$30 x$	-	$15$
							-	$30 x$	-	$15$

ステップ 1.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $- 30 x - 15$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$15$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$32 x$	-	$15$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	-	$32 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$30 x$	-	$15$
							+	$30 x$	+	$15$

ステップ 1.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$15$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$32 x$	-	$15$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	-	$32 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$30 x$	-	$15$
							+	$30 x$	+	$15$
										$0$

ステップ 1.5.16

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$x^{2} - 2 x - 15$

ステップ 1.6

$2 x^{3} - 3 x^{2} - 32 x - 15$ を因数の集合として書き換えます。

$(2 x + 1) (x^{2} - 2 x - 15)$

ステップ 2

たすき掛けを利用して $x^{2} - 2 x - 15$ を因数分解します。

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ステップ 2.1

たすき掛けを利用して $x^{2} - 2 x - 15$ を因数分解します。

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ステップ 2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 15$ で、その和が $- 2$ です。

$- 5, 3$

ステップ 2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(2 x + 1) ((x - 5) (x + 3))$

ステップ 2.2

不要な括弧を削除します。

$(2 x + 1) (x - 5) (x + 3)$

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