微分積分学準備例

$x^{4} + 3 x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 4$

ステップ 1

項を再分類します。

$3 x^{3} - 3 x^{2} + x^{4} + 3 x - 4$

ステップ 2

$3 x^{2}$ を $3 x^{3} - 3 x^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 2.1

$3 x^{2}$ を $3 x^{3}$ で因数分解します。

$3 x^{2} (x) - 3 x^{2} + x^{4} + 3 x - 4$

ステップ 2.2

$3 x^{2}$ を $- 3 x^{2}$ で因数分解します。

$3 x^{2} (x) + 3 x^{2} (- 1) + x^{4} + 3 x - 4$

ステップ 2.3

$3 x^{2}$ を $3 x^{2} (x) + 3 x^{2} (- 1)$ で因数分解します。

$3 x^{2} (x - 1) + x^{4} + 3 x - 4$

ステップ 3

有理根検定を用いて $x^{4} + 3 x - 4$ を因数分解します。

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ステップ 3.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1$

ステップ 3.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 4, \pm 2$

ステップ 3.3

$1$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $1$ は多項式の根です。

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ステップ 3.3.1

$1$ を多項式に代入します。

$1^{4} + 3 \cdot 1 - 4$

ステップ 3.3.2

$1$ を $4$ 乗します。

$1 + 3 \cdot 1 - 4$

ステップ 3.3.3

$3$ に $1$ をかけます。

$1 + 3 - 4$

ステップ 3.3.4

$1$ と $3$ をたし算します。

$4 - 4$

ステップ 3.3.5

$4$ から $4$ を引きます。

$0$

ステップ 3.4

$1$ は既知の根なので、多項式を $x - 1$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{x^{4} + 3 x - 4}{x - 1}$

ステップ 3.5

$x^{4} + 3 x - 4$ を $x - 1$ で割ります。

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ステップ 3.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$4$

ステップ 3.5.2

被除数 $x^{4}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$4$

ステップ 3.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

ステップ 3.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $x^{4} - x^{3}$ の符号をすべて変更します。

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

ステップ 3.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

ステップ 3.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

ステップ 3.5.7

被除数 $x^{3}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

ステップ 3.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

ステップ 3.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $x^{3} - x^{2}$ の符号をすべて変更します。

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

ステップ 3.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

ステップ 3.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$3 x$

ステップ 3.5.12

被除数 $x^{2}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$3 x$

ステップ 3.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$3 x$

$x^{2}$

$x$

ステップ 3.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $x^{2} - x$ の符号をすべて変更します。

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$3 x$

$x^{2}$

$x$

ステップ 3.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$3 x$

$x^{2}$

$x$

$4 x$

ステップ 3.5.16

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$3 x$

$x^{2}$

$x$

$4 x$

$4$

ステップ 3.5.17

被除数 $4 x$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$4$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$3 x$

$x^{2}$

$x$

$4 x$

$4$

ステップ 3.5.18

新しい商の項に除数を掛けます。

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$4$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$3 x$

$x^{2}$

$x$

$4 x$

$4$

$4 x$

$4$

ステップ 3.5.19

式は被除数から引く必要があるので、 $4 x - 4$ の符号をすべて変更します。

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$4$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$3 x$

$x^{2}$

$x$

$4 x$

$4$

$4 x$

$4$

ステップ 3.5.20

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$4$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$3 x$

$x^{2}$

$x$

$4 x$

$4$

$4 x$

$4$

$0$

ステップ 3.5.21

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$x^{3} + x^{2} + x + 4$

ステップ 3.6

$x^{4} + 3 x - 4$ を因数の集合として書き換えます。

$3 x^{2} (x - 1) + (x - 1) (x^{3} + x^{2} + x + 4)$

ステップ 4

$x - 1$ を $3 x^{2} (x - 1) + (x - 1) (x^{3} + x^{2} + x + 4)$ で因数分解します。

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ステップ 4.1

$x - 1$ を $3 x^{2} (x - 1)$ で因数分解します。

$(x - 1) (3 x^{2}) + (x - 1) (x^{3} + x^{2} + x + 4)$

ステップ 4.2

$x - 1$ を $(x - 1) (3 x^{2}) + (x - 1) (x^{3} + x^{2} + x + 4)$ で因数分解します。

$(x - 1) (3 x^{2} + x^{3} + x^{2} + x + 4)$

ステップ 5

$3 x^{2}$ と $x^{2}$ をたし算します。

$(x - 1) (x^{3} + 4 x^{2} + x + 4)$

ステップ 6

因数分解。

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ステップ 6.1

因数分解した形で $x^{3} + 4 x^{2} + x + 4$ を書き換えます。

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ステップ 6.1.1

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 6.1.1.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(x - 1) ((x^{3} + 4 x^{2}) + x + 4)$

ステップ 6.1.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$(x - 1) (x^{2} (x + 4) + 1 (x + 4))$

ステップ 6.1.2

最大公約数 $x + 4$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(x - 1) ((x + 4) (x^{2} + 1))$

ステップ 6.2

不要な括弧を削除します。

$(x - 1) (x + 4) (x^{2} + 1)$

微分積分学準備 例

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