微分積分学準備例

$\cos^{2} (\frac{π}{8}) - \sin^{2} (\frac{π}{8})$

ステップ 1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = \cos (\frac{π}{8})$ であり、 $b = \sin (\frac{π}{8})$ です。

$(\cos (\frac{π}{8}) + \sin (\frac{π}{8})) (\cos (\frac{π}{8}) - \sin (\frac{π}{8}))$

ステップ 2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\cos (\frac{π}{8})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$2$ で割った6つの三角関数の値が分かっている角として $\frac{π}{8}$ を書き直します。

$(\cos (\frac{\frac{π}{4}}{2}) + \sin (\frac{π}{8})) (\cos (\frac{π}{8}) - \sin (\frac{π}{8}))$

ステップ 2.1.2

余弦半角の公式 $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ を当てはめます。

$(\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}} + \sin (\frac{π}{8})) (\cos (\frac{π}{8}) - \sin (\frac{π}{8}))$

ステップ 2.1.3

余弦が第一象限で正なので、 $\pm$ を $+$ に変えます。

$(\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}} + \sin (\frac{π}{8})) (\cos (\frac{π}{8}) - \sin (\frac{π}{8}))$

ステップ 2.1.4

$\cos (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$(\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + \sin (\frac{π}{8})) (\cos (\frac{π}{8}) - \sin (\frac{π}{8}))$

ステップ 2.1.5

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.5.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$(\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + \sin (\frac{π}{8})) (\cos (\frac{π}{8}) - \sin (\frac{π}{8}))$

ステップ 2.1.5.2

公分母の分子をまとめます。

$(\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}} + \sin (\frac{π}{8})) (\cos (\frac{π}{8}) - \sin (\frac{π}{8}))$

ステップ 2.1.5.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$(\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}} + \sin (\frac{π}{8})) (\cos (\frac{π}{8}) - \sin (\frac{π}{8}))$

ステップ 2.1.5.4

$\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.5.4.1

$\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$(\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}} + \sin (\frac{π}{8})) (\cos (\frac{π}{8}) - \sin (\frac{π}{8}))$

ステップ 2.1.5.4.2

$2$ に $2$ をかけます。

$(\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}} + \sin (\frac{π}{8})) (\cos (\frac{π}{8}) - \sin (\frac{π}{8}))$

ステップ 2.1.5.5

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ を $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ に書き換えます。

$(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}} + \sin (\frac{π}{8})) (\cos (\frac{π}{8}) - \sin (\frac{π}{8}))$

ステップ 2.1.5.6

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.5.6.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}} + \sin (\frac{π}{8})) (\cos (\frac{π}{8}) - \sin (\frac{π}{8}))$

ステップ 2.1.5.6.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \sin (\frac{π}{8})) (\cos (\frac{π}{8}) - \sin (\frac{π}{8}))$

ステップ 2.2

$\sin (\frac{π}{8})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$2$ で割った6つの三角関数の値が分かっている角として $\frac{π}{8}$ を書き直します。

$(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \sin (\frac{\frac{π}{4}}{2})) (\cos (\frac{π}{8}) - \sin (\frac{π}{8}))$

ステップ 2.2.2

制限半角の公式を当てはめます。

$(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}) (\cos (\frac{π}{8}) - \sin (\frac{π}{8}))$

ステップ 2.2.3

正弦が第一象限で正なので、 $\pm$ を $+$ に変えます。

$(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}) (\cos (\frac{π}{8}) - \sin (\frac{π}{8}))$

ステップ 2.2.4

$\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.4.1

$\cos (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}) (\cos (\frac{π}{8}) - \sin (\frac{π}{8}))$

ステップ 2.2.4.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}) (\cos (\frac{π}{8}) - \sin (\frac{π}{8}))$

ステップ 2.2.4.3

公分母の分子をまとめます。

$(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}}) (\cos (\frac{π}{8}) - \sin (\frac{π}{8}))$

ステップ 2.2.4.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}) (\cos (\frac{π}{8}) - \sin (\frac{π}{8}))$

ステップ 2.2.4.5

$\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.4.5.1

$\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}) (\cos (\frac{π}{8}) - \sin (\frac{π}{8}))$

ステップ 2.2.4.5.2

$2$ に $2$ をかけます。

$(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}) (\cos (\frac{π}{8}) - \sin (\frac{π}{8}))$

ステップ 2.2.4.6

$\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ を $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ に書き換えます。

$(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}) (\cos (\frac{π}{8}) - \sin (\frac{π}{8}))$

ステップ 2.2.4.7

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.4.7.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}) (\cos (\frac{π}{8}) - \sin (\frac{π}{8}))$

ステップ 2.2.4.7.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}) (\cos (\frac{π}{8}) - \sin (\frac{π}{8}))$

ステップ 2.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\cos (\frac{π}{8}) - \sin (\frac{π}{8}))$

ステップ 2.4

$\cos (\frac{π}{8})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$2$ で割った6つの三角関数の値が分かっている角として $\frac{π}{8}$ を書き直します。

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\cos (\frac{\frac{π}{4}}{2}) - \sin (\frac{π}{8}))$

ステップ 2.4.2

余弦半角の公式 $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ を当てはめます。

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}} - \sin (\frac{π}{8}))$

ステップ 2.4.3

余弦が第一象限で正なので、 $\pm$ を $+$ に変えます。

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}} - \sin (\frac{π}{8}))$

ステップ 2.4.4

$\cos (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} - \sin (\frac{π}{8}))$

ステップ 2.4.5

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.5.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} - \sin (\frac{π}{8}))$

ステップ 2.4.5.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}} - \sin (\frac{π}{8}))$

ステップ 2.4.5.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}} - \sin (\frac{π}{8}))$

ステップ 2.4.5.4

$\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.5.4.1

$\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}} - \sin (\frac{π}{8}))$

ステップ 2.4.5.4.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}} - \sin (\frac{π}{8}))$

ステップ 2.4.5.5

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ を $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}} - \sin (\frac{π}{8}))$

ステップ 2.4.5.6

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.5.6.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}} - \sin (\frac{π}{8}))$

ステップ 2.4.5.6.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} - \sin (\frac{π}{8}))$

ステップ 2.5

$\sin (\frac{π}{8})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

$2$ で割った6つの三角関数の値が分かっている角として $\frac{π}{8}$ を書き直します。

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} - \sin (\frac{\frac{π}{4}}{2}))$

ステップ 2.5.2

制限半角の公式を当てはめます。

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} - (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}))$

ステップ 2.5.3

正弦が第一象限で正なので、 $\pm$ を $+$ に変えます。

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} - \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}})$

ステップ 2.5.4

$\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.4.1

$\cos (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} - \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}})$

ステップ 2.5.4.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} - \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}})$

ステップ 2.5.4.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} - \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}})$

ステップ 2.5.4.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} - \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}})$

ステップ 2.5.4.5

$\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.4.5.1

$\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} - \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}})$

ステップ 2.5.4.5.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} - \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}})$

ステップ 2.5.4.6

$\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ を $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} - \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}})$

ステップ 2.5.4.7

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.4.7.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} - \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}})$

ステップ 2.5.4.7.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} - \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2})$

ステップ 2.6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} - \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

ステップ 3

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} - \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

10進法形式：

$0.70710678 \dots$

微分積分学準備 例

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