微分積分学準備例

$x^{3} + 6 x^{2} - 15 x - 100$

ステップ 1

有理根検定を用いて $x^{3} + 6 x^{2} - 15 x - 100$ を因数分解します。

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ステップ 1.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 100, \pm 2, \pm 50, \pm 4, \pm 25, \pm 5, \pm 20, \pm 10$

$q = \pm 1$

ステップ 1.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 100, \pm 2, \pm 50, \pm 4, \pm 25, \pm 5, \pm 20, \pm 10$

ステップ 1.3

$4$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $4$ は多項式の根です。

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ステップ 1.3.1

$4$ を多項式に代入します。

$4^{3} + 6 \cdot 4^{2} - 15 \cdot 4 - 100$

ステップ 1.3.2

$4$ を $3$ 乗します。

$64 + 6 \cdot 4^{2} - 15 \cdot 4 - 100$

ステップ 1.3.3

$4$ を $2$ 乗します。

$64 + 6 \cdot 16 - 15 \cdot 4 - 100$

ステップ 1.3.4

$6$ に $16$ をかけます。

$64 + 96 - 15 \cdot 4 - 100$

ステップ 1.3.5

$64$ と $96$ をたし算します。

$160 - 15 \cdot 4 - 100$

ステップ 1.3.6

$- 15$ に $4$ をかけます。

$160 - 60 - 100$

ステップ 1.3.7

$160$ から $60$ を引きます。

$100 - 100$

ステップ 1.3.8

$100$ から $100$ を引きます。

$0$

ステップ 1.4

$4$ は既知の根なので、多項式を $x - 4$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{x^{3} + 6 x^{2} - 15 x - 100}{x - 4}$

ステップ 1.5

$x^{3} + 6 x^{2} - 15 x - 100$ を $x - 4$ で割ります。

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ステップ 1.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

$4$

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$15 x$

$100$

ステップ 1.5.2

被除数 $x^{3}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

					$x^{2}$
	$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	-	$15 x$	-	$100$

ステップ 1.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	-	$15 x$	-	$100$
			+	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$

ステップ 1.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $x^{3} - 4 x^{2}$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	-	$15 x$	-	$100$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$

ステップ 1.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	-	$15 x$	-	$100$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$

ステップ 1.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	-	$15 x$	-	$100$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$15 x$

ステップ 1.5.7

被除数 $10 x^{2}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	+	$10 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	-	$15 x$	-	$100$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$15 x$

ステップ 1.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	+	$10 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	-	$15 x$	-	$100$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$15 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$40 x$

ステップ 1.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $10 x^{2} - 40 x$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	+	$10 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	-	$15 x$	-	$100$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$15 x$
					-	$10 x^{2}$	+	$40 x$

ステップ 1.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	+	$10 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	-	$15 x$	-	$100$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$15 x$
					-	$10 x^{2}$	+	$40 x$
							+	$25 x$

ステップ 1.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$	+	$10 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	-	$15 x$	-	$100$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$15 x$
					-	$10 x^{2}$	+	$40 x$
							+	$25 x$	-	$100$

ステップ 1.5.12

被除数 $25 x$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	+	$10 x$	+	$25$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	-	$15 x$	-	$100$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$15 x$
					-	$10 x^{2}$	+	$40 x$
							+	$25 x$	-	$100$

ステップ 1.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	+	$10 x$	+	$25$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	-	$15 x$	-	$100$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$15 x$
					-	$10 x^{2}$	+	$40 x$
							+	$25 x$	-	$100$
							+	$25 x$	-	$100$

ステップ 1.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $25 x - 100$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	+	$10 x$	+	$25$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	-	$15 x$	-	$100$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$15 x$
					-	$10 x^{2}$	+	$40 x$
							+	$25 x$	-	$100$
							-	$25 x$	+	$100$

ステップ 1.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	+	$10 x$	+	$25$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	-	$15 x$	-	$100$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$15 x$
					-	$10 x^{2}$	+	$40 x$
							+	$25 x$	-	$100$
							-	$25 x$	+	$100$
										$0$

ステップ 1.5.16

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$x^{2} + 10 x + 25$

ステップ 1.6

$x^{3} + 6 x^{2} - 15 x - 100$ を因数の集合として書き換えます。

$(x - 4) (x^{2} + 10 x + 25)$

ステップ 2

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 2.1

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$(x - 4) (x^{2} + 10 x + 5^{2})$

ステップ 2.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

ステップ 2.3

多項式を書き換えます。

$(x - 4) (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2})$

ステップ 2.4

$a = x$ と $b = 5$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$(x - 4) {(x + 5)}^{2}$

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