微分積分学準備例

$x^{2} (x - 2) (x + 2) + 3 x + 6$

ステップ 1

分配則を当てはめます。

$(x^{2} x + x^{2} \cdot - 2) (x + 2) + 3 x + 6$

ステップ 2

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$(x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot - 2) (x + 2) + 3 x + 6$

ステップ 2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$(x^{2 + 1} + x^{2} \cdot - 2) (x + 2) + 3 x + 6$

ステップ 2.2

$2$ と $1$ をたし算します。

$(x^{3} + x^{2} \cdot - 2) (x + 2) + 3 x + 6$

ステップ 3

$- 2$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$(x^{3} - 2 x^{2}) (x + 2) + 3 x + 6$

ステップ 4

分配法則（FOIL法）を使って $(x^{3} - 2 x^{2}) (x + 2)$ を展開します。

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ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$x^{3} (x + 2) - 2 x^{2} (x + 2) + 3 x + 6$

ステップ 4.2

分配則を当てはめます。

$x^{3} x + x^{3} \cdot 2 - 2 x^{2} (x + 2) + 3 x + 6$

ステップ 4.3

分配則を当てはめます。

$x^{3} x + x^{3} \cdot 2 - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot 2 + 3 x + 6$

ステップ 5

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 5.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.1.1

指数を足して $x^{3}$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 5.1.1.1

$x^{3}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$x^{3} x^{1} + x^{3} \cdot 2 - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot 2 + 3 x + 6$

ステップ 5.1.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x^{3 + 1} + x^{3} \cdot 2 - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot 2 + 3 x + 6$

ステップ 5.1.1.2

$3$ と $1$ をたし算します。

$x^{4} + x^{3} \cdot 2 - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot 2 + 3 x + 6$

ステップ 5.1.2

$2$ を $x^{3}$ の左に移動させます。

$x^{4} + 2 x^{3} - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot 2 + 3 x + 6$

ステップ 5.1.3

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 5.1.3.1

$x$ を移動させます。

$x^{4} + 2 x^{3} - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 x^{2} \cdot 2 + 3 x + 6$

ステップ 5.1.3.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

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ステップ 5.1.3.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$x^{4} + 2 x^{3} - 2 (x^{1} x^{2}) - 2 x^{2} \cdot 2 + 3 x + 6$

ステップ 5.1.3.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x^{4} + 2 x^{3} - 2 x^{1 + 2} - 2 x^{2} \cdot 2 + 3 x + 6$

ステップ 5.1.3.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$x^{4} + 2 x^{3} - 2 x^{3} - 2 x^{2} \cdot 2 + 3 x + 6$

ステップ 5.1.4

$2$ に $- 2$ をかけます。

$x^{4} + 2 x^{3} - 2 x^{3} - 4 x^{2} + 3 x + 6$

ステップ 5.2

$2 x^{3}$ から $2 x^{3}$ を引きます。

$x^{4} + 0 - 4 x^{2} + 3 x + 6$

ステップ 5.3

$x^{4}$ と $0$ をたし算します。

$x^{4} - 4 x^{2} + 3 x + 6$

ステップ 6

因数分解した形で $x^{4} - 4 x^{2} + 3 x + 6$ を書き換えます。

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ステップ 6.1

$x^{2}$ を $x^{4} - 4 x^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 6.1.1

$x^{2}$ を $x^{4}$ で因数分解します。

$x^{2} x^{2} - 4 x^{2} + 3 x + 6$

ステップ 6.1.2

$x^{2}$ を $- 4 x^{2}$ で因数分解します。

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 4 + 3 x + 6$

ステップ 6.1.3

$x^{2}$ を $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 4$ で因数分解します。

$x^{2} (x^{2} - 4) + 3 x + 6$

ステップ 6.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x^{2} (x^{2} - 2^{2}) + 3 x + 6$

ステップ 6.3

因数分解。

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ステップ 6.3.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 2$ です。

$x^{2} ((x + 2) (x - 2)) + 3 x + 6$

ステップ 6.3.2

不要な括弧を削除します。

$x^{2} (x + 2) (x - 2) + 3 x + 6$

ステップ 6.4

$3$ を $3 x + 6$ で因数分解します。

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ステップ 6.4.1

$3$ を $3 x$ で因数分解します。

$x^{2} (x + 2) (x - 2) + 3 (x) + 6$

ステップ 6.4.2

$3$ を $6$ で因数分解します。

$x^{2} (x + 2) (x - 2) + 3 x + 3 \cdot 2$

ステップ 6.4.3

$3$ を $3 x + 3 \cdot 2$ で因数分解します。

$x^{2} (x + 2) (x - 2) + 3 (x + 2)$

ステップ 6.5

$x + 2$ を $x^{2} (x + 2) (x - 2) + 3 (x + 2)$ で因数分解します。

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ステップ 6.5.1

$x + 2$ を $x^{2} (x + 2) (x - 2)$ で因数分解します。

$(x + 2) (x^{2} (x - 2)) + 3 (x + 2)$

ステップ 6.5.2

$x + 2$ を $3 (x + 2)$ で因数分解します。

$(x + 2) (x^{2} (x - 2)) + (x + 2) \cdot 3$

ステップ 6.5.3

$x + 2$ を $(x + 2) (x^{2} (x - 2)) + (x + 2) \cdot 3$ で因数分解します。

$(x + 2) (x^{2} (x - 2) + 3)$

ステップ 6.6

分配則を当てはめます。

$(x + 2) (x^{2} x + x^{2} \cdot - 2 + 3)$

ステップ 6.7

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 6.7.1

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

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ステップ 6.7.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$(x + 2) (x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot - 2 + 3)$

ステップ 6.7.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$(x + 2) (x^{2 + 1} + x^{2} \cdot - 2 + 3)$

ステップ 6.7.2

$2$ と $1$ をたし算します。

$(x + 2) (x^{3} + x^{2} \cdot - 2 + 3)$

ステップ 6.8

$- 2$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$(x + 2) (x^{3} - 2 x^{2} + 3)$

ステップ 6.9

因数分解。

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ステップ 6.9.1

有理根検定を用いて $x^{3} - 2 x^{2} + 3$ を因数分解します。

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ステップ 6.9.1.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 3$

$q = \pm 1$

ステップ 6.9.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 3$

ステップ 6.9.1.3

$- 1$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $- 1$ は多項式の根です。

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ステップ 6.9.1.3.1

$- 1$ を多項式に代入します。

${(- 1)}^{3} - 2 {(- 1)}^{2} + 3$

ステップ 6.9.1.3.2

$- 1$ を $3$ 乗します。

$- 1 - 2 {(- 1)}^{2} + 3$

ステップ 6.9.1.3.3

$- 1$ を $2$ 乗します。

$- 1 - 2 \cdot 1 + 3$

ステップ 6.9.1.3.4

$- 2$ に $1$ をかけます。

$- 1 - 2 + 3$

ステップ 6.9.1.3.5

$- 1$ から $2$ を引きます。

$- 3 + 3$

ステップ 6.9.1.3.6

$- 3$ と $3$ をたし算します。

$0$

ステップ 6.9.1.4

$- 1$ は既知の根なので、多項式を $x + 1$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} + 3}{x + 1}$

ステップ 6.9.1.5

$x^{3} - 2 x^{2} + 3$ を $x + 1$ で割ります。

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ステップ 6.9.1.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

$1$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$3$

ステップ 6.9.1.5.2

被除数 $x^{3}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$

ステップ 6.9.1.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

ステップ 6.9.1.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $x^{3} + x^{2}$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

ステップ 6.9.1.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$

ステップ 6.9.1.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$

ステップ 6.9.1.5.7

被除数 $- 3 x^{2}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$

ステップ 6.9.1.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$3 x$

ステップ 6.9.1.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $- 3 x^{2} - 3 x$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$

ステップ 6.9.1.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$3 x$

ステップ 6.9.1.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$3 x$	+	$3$

ステップ 6.9.1.5.12

被除数 $3 x$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	-	$3 x$	+	$3$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$3 x$	+	$3$

ステップ 6.9.1.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	-	$3 x$	+	$3$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$3 x$	+	$3$
							+	$3 x$	+	$3$

ステップ 6.9.1.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $3 x + 3$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	-	$3 x$	+	$3$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$3 x$	+	$3$
							-	$3 x$	-	$3$

ステップ 6.9.1.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	-	$3 x$	+	$3$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$3 x$	+	$3$
							-	$3 x$	-	$3$
										$0$

ステップ 6.9.1.5.16

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$x^{2} - 3 x + 3$

ステップ 6.9.1.6

$x^{3} - 2 x^{2} + 3$ を因数の集合として書き換えます。

$(x + 2) ((x + 1) (x^{2} - 3 x + 3))$

ステップ 6.9.2

不要な括弧を削除します。

$(x + 2) (x + 1) (x^{2} - 3 x + 3)$

微分積分学準備 例

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