微分積分学準備例

$\csc^{2} (x) - 1 = 0$ , $(0, 2 π)$

ステップ 1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$\csc^{2} (x) = 1$

ステップ 2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\csc (x) = \pm \sqrt{1}$

ステップ 3

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$\csc (x) = \pm 1$

ステップ 4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$\csc (x) = 1$

ステップ 4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$\csc (x) = - 1$

ステップ 4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$\csc (x) = 1, - 1$

ステップ 5

各解を求め、 $x$ を解きます。

$\csc (x) = 1$

$\csc (x) = - 1$

ステップ 6

$\csc (x) = 1$ の $x$ について解きます。

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ステップ 6.1

方程式の両辺の逆余割をとり、余割の中から $x$ を取り出します。

$x = arccsc (1)$

ステップ 6.2

右辺を簡約します。

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ステップ 6.2.1

$arccsc (1)$ の厳密値は $\frac{π}{2}$ です。

$x = \frac{π}{2}$

ステップ 6.3

余割関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$x = π - \frac{π}{2}$

ステップ 6.4

$π - \frac{π}{2}$ を簡約します。

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ステップ 6.4.1

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 6.4.2

分数をまとめます。

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ステップ 6.4.2.1

$π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 6.4.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

ステップ 6.4.3

分子を簡約します。

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ステップ 6.4.3.1

$2$ を $π$ の左に移動させます。

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

ステップ 6.4.3.2

$2 π$ から $π$ を引きます。

$x = \frac{π}{2}$

ステップ 6.5

$\csc (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 6.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 6.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 6.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 6.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 6.6

$\csc (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 7

$\csc (x) = - 1$ の $x$ について解きます。

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ステップ 7.1

方程式の両辺の逆余割をとり、余割の中から $x$ を取り出します。

$x = arccsc (- 1)$

ステップ 7.2

右辺を簡約します。

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ステップ 7.2.1

$arccsc (- 1)$ の厳密値は $- \frac{π}{2}$ です。

$x = - \frac{π}{2}$

ステップ 7.3

The cosecant function is negative in the third and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the solution from $2 π$ , to find a reference angle. Next, add this reference angle to $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

ステップ 7.4

式を簡約し、2番目の解を求めます。

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ステップ 7.4.1

$2 π + \frac{π}{2} + π$ から $2 π$ を引きます。

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

ステップ 7.4.2

$\frac{3 π}{2}$ の結果の角度は正で、 $2 π$ より小さく、 $2 π + \frac{π}{2} + π$ と隣接します。

$x = \frac{3 π}{2}$

ステップ 7.5

$\csc (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 7.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 7.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 7.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 7.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 7.6

$2 π$ を各負の角に足し、正の角を得ます。

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ステップ 7.6.1

$2 π$ を $- \frac{π}{2}$ に足し、正の角を求めます。

$- \frac{π}{2} + 2 π$

ステップ 7.6.2

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 7.6.3

分数をまとめます。

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ステップ 7.6.3.1

$2 π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 7.6.3.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

ステップ 7.6.4

分子を簡約します。

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ステップ 7.6.4.1

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{4 π - π}{2}$

ステップ 7.6.4.2

$4 π$ から $π$ を引きます。

$\frac{3 π}{2}$

ステップ 7.6.5

新しい角をリストします。

$x = \frac{3 π}{2}$

ステップ 7.7

$\csc (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 8

すべての解をまとめます。

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 9

答えをまとめます。

$x = \frac{π}{2} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 10

区間 $(0, 2 π)$ 内で値をつくる $n$ の値を求めます。

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ステップ 10.1

$0$ を $n$ に代入して簡約し、解が $(0, 2 π)$ に含まれるか確認します。

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ステップ 10.1.1

$0$ を $n$ に代入します。

$\frac{π}{2} + π (0)$

ステップ 10.1.2

簡約します。

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ステップ 10.1.2.1

$π$ に $0$ をかけます。

$\frac{π}{2} + 0$

ステップ 10.1.2.2

$\frac{π}{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{π}{2}$

ステップ 10.1.3

区間 $(0, 2 π)$ は $\frac{π}{2}$ を含みます。

$x = \frac{π}{2}$

ステップ 10.2

$1$ を $n$ に代入して簡約し、解が $(0, 2 π)$ に含まれるか確認します。

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ステップ 10.2.1

$1$ を $n$ に代入します。

$\frac{π}{2} + π (1)$

ステップ 10.2.2

簡約します。

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ステップ 10.2.2.1

$π$ に $1$ をかけます。

$\frac{π}{2} + π$

ステップ 10.2.2.2

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{π}{2} + π \cdot \frac{2}{2}$

ステップ 10.2.2.3

分数をまとめます。

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ステップ 10.2.2.3.1

$π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{π}{2} + \frac{π \cdot 2}{2}$

ステップ 10.2.2.3.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{π + π \cdot 2}{2}$

ステップ 10.2.2.4

分子を簡約します。

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ステップ 10.2.2.4.1

$2$ を $π$ の左に移動させます。

$\frac{π + 2 \cdot π}{2}$

ステップ 10.2.2.4.2

$π$ と $2 π$ をたし算します。

$\frac{3 π}{2}$

ステップ 10.2.3

区間 $(0, 2 π)$ は $\frac{3 π}{2}$ を含みます。

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

微分積分学準備 例

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