微分積分学準備例

$\cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1 = 0$ , $[0, 2 π]$

ステップ 1

$u$ を $\cos (x)$ に代入します。

${(u)}^{2} + 2 (u) + 1 = 0$

ステップ 2

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 2.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$u^{2} + 2 u + 1^{2} = 0$

ステップ 2.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

ステップ 2.3

多項式を書き換えます。

$u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2} = 0$

ステップ 2.4

$a = u$ と $b = 1$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

${(u + 1)}^{2} = 0$

ステップ 3

$u + 1$ が $0$ に等しいとします。

$u + 1 = 0$

ステップ 4

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$u = - 1$

ステップ 5

$\cos (x)$ を $u$ に代入します。

$\cos (x) = - 1$

ステップ 6

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arccos (- 1)$

ステップ 7

右辺を簡約します。

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ステップ 7.1

$\arccos (- 1)$ の厳密値は $π$ です。

$x = π$

ステップ 8

余弦関数は、第二象限と第三象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第三象限で解を求めます。

$x = 2 π - π$

ステップ 9

$2 π$ から $π$ を引きます。

$x = π$

ステップ 10

$\cos (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 10.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 10.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 10.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 10.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 11

$\cos (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 12

$0$ を $n$ に代入して簡約し、解が $[0, 2 π]$ に含まれるか確認します。

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ステップ 12.1

$0$ を $n$ に代入します。

$π + 2 π (0)$

ステップ 12.2

簡約します。

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ステップ 12.2.1

$2 π (0)$ を掛けます。

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ステップ 12.2.1.1

$0$ に $2$ をかけます。

$π + 0 π$

ステップ 12.2.1.2

$0$ に $π$ をかけます。

$π + 0$

ステップ 12.2.2

$π$ と $0$ をたし算します。

$π$

ステップ 12.3

区間 $[0, 2 π]$ は $π$ を含みます。

$x = π$

微分積分学準備 例

微分積分学準備例