微分積分学準備例

$\sqrt{x^{2} + y^{2}} = \frac{8}{16 + 125 \sin (x)}$

ステップ 1

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{2} = {(\frac{8}{16 + 125 \sin (x)})}^{2}$

ステップ 2

方程式の各辺を簡約します。

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ステップ 2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ を ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{8}{16 + 125 \sin (x)})}^{2}$

ステップ 2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.2.1

${({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 2.2.1.1

${({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{8}{16 + 125 \sin (x)})}^{2}$

ステップ 2.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{8}{16 + 125 \sin (x)})}^{2}$

ステップ 2.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(x^{2} + y^{2})}^{1} = {(\frac{8}{16 + 125 \sin (x)})}^{2}$

ステップ 2.2.1.2

簡約します。

$x^{2} + y^{2} = {(\frac{8}{16 + 125 \sin (x)})}^{2}$

ステップ 2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.1

${(\frac{8}{16 + 125 \sin (x)})}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

積の法則を $\frac{8}{16 + 125 \sin (x)}$ に当てはめます。

$x^{2} + y^{2} = \frac{8^{2}}{{(16 + 125 \sin (x))}^{2}}$

ステップ 2.3.1.2

$8$ を $2$ 乗します。

$x^{2} + y^{2} = \frac{64}{{(16 + 125 \sin (x))}^{2}}$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺から $x^{2}$ を引きます。

$y^{2} = \frac{64}{{(16 + 125 \sin (x))}^{2}} - x^{2}$

ステップ 3.2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \pm \sqrt{\frac{64}{{(16 + 125 \sin (x))}^{2}} - x^{2}}$

ステップ 3.3

$\pm \sqrt{\frac{64}{{(16 + 125 \sin (x))}^{2}} - x^{2}}$ を簡約します。

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ステップ 3.3.1

$64$ を $8^{2}$ に書き換えます。

$y = \pm \sqrt{\frac{8^{2}}{{(16 + 125 \sin (x))}^{2}} - x^{2}}$

ステップ 3.3.2

$\frac{8^{2}}{{(16 + 125 \sin (x))}^{2}}$ を ${(\frac{8}{16 + 125 \sin (x)})}^{2}$ に書き換えます。

$y = \pm \sqrt{{(\frac{8}{16 + 125 \sin (x)})}^{2} - x^{2}}$

ステップ 3.3.3

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = \frac{8}{16 + 125 \sin (x)}$ であり、 $b = x$ です。

$y = \pm \sqrt{(\frac{8}{16 + 125 \sin (x)} + x) (\frac{8}{16 + 125 \sin (x)} - x)}$

ステップ 3.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 3.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y = \sqrt{(\frac{8}{16 + 125 \sin (x)} + x) (\frac{8}{16 + 125 \sin (x)} - x)}$

ステップ 3.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y = - \sqrt{(\frac{8}{16 + 125 \sin (x)} + x) (\frac{8}{16 + 125 \sin (x)} - x)}$

ステップ 3.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = \sqrt{(\frac{8}{16 + 125 \sin (x)} + x) (\frac{8}{16 + 125 \sin (x)} - x)}$

$y = - \sqrt{(\frac{8}{16 + 125 \sin (x)} + x) (\frac{8}{16 + 125 \sin (x)} - x)}$

$y = \sqrt{(\frac{8}{16 + 125 \sin (x)} + x) (\frac{8}{16 + 125 \sin (x)} - x)}$

$y = - \sqrt{(\frac{8}{16 + 125 \sin (x)} + x) (\frac{8}{16 + 125 \sin (x)} - x)}$

$y = \sqrt{(\frac{8}{16 + 125 \sin (x)} + x) (\frac{8}{16 + 125 \sin (x)} - x)}$

$y = - \sqrt{(\frac{8}{16 + 125 \sin (x)} + x) (\frac{8}{16 + 125 \sin (x)} - x)}$

ステップ 4

$x$ の関数として書き換えるために、方程式を書き、等号の一辺に $y$ が単独であり、もう一辺に $x$ だけを含む式が来るようにします。

$f (x) = \sqrt{(\frac{8}{16 + 125 \sin (x)} + x) (\frac{8}{16 + 125 \sin (x)} - x)}, - \sqrt{(\frac{8}{16 + 125 \sin (x)} + x) (\frac{8}{16 + 125 \sin (x)} - x)}$

微分積分学準備 例

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