微分積分学準備例

$f (x) = \frac{x^{3} - 27}{| x - 3 |}$

ステップ 1

式 $\frac{x^{3} - 27}{| x - 3 |}$ が未定義である場所を求めます。

$x = 3$

ステップ 2

垂直漸近線は無限が不連続になる場所で発生します。

垂直漸近線がありません

ステップ 3

極限がないので、水平漸近線はありません。

水平漸近線がありません

ステップ 4

多項式の割り算を利用して斜めの漸近線を求めます。

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ステップ 4.1

分子を簡約します。

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ステップ 4.1.1

$27$ を $3^{3}$ に書き換えます。

$\frac{x^{3} - 3^{3}}{| x - 3 |}$

ステップ 4.1.2

両項とも完全立方なので、立方の差の公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 3$ です。

$\frac{(x - 3) (x^{2} + x \cdot 3 + 3^{2})}{| x - 3 |}$

ステップ 4.1.3

簡約します。

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ステップ 4.1.3.1

$3$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{(x - 3) (x^{2} + 3 \cdot x + 3^{2})}{| x - 3 |}$

ステップ 4.1.3.2

$3$ を $2$ 乗します。

$\frac{(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{| x - 3 |}$

ステップ 4.2

多項式の割り算による余りがないので、斜めの漸近線はありません。

斜めの漸近線がありません

ステップ 5

すべての漸近線の集合です。

垂直漸近線がありません

水平漸近線がありません

斜めの漸近線がありません

ステップ 6

微分積分学準備 例