微分積分学準備例

$f (x) = \frac{5}{1 + 4 e^{- 2 x}}$

ステップ 1

式 $\frac{5}{1 + 4 e^{- 2 x}}$ が未定義である場所を求めます。

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 2

垂直漸近線は無限が不連続になる場所で発生します。

垂直漸近線がありません

ステップ 3

$lim_{x \to \infty} \frac{5}{1 + 4 e^{- 2 x}}$ の値を求め水平漸近線を求めます。

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ステップ 3.1

極限を求めます。

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ステップ 3.1.1

$5$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 + 4 e^{- 2 x}}$

ステップ 3.1.2

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$5 \frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} 1 + 4 e^{- 2 x}}$

ステップ 3.1.3

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} 1 + 4 e^{- 2 x}}$

ステップ 3.1.4

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} 4 e^{- 2 x}}$

ステップ 3.1.5

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$5 \frac{1}{1 + lim_{x \to \infty} 4 e^{- 2 x}}$

ステップ 3.1.6

$4$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$5 \frac{1}{1 + 4 lim_{x \to \infty} e^{- 2 x}}$

ステップ 3.2

指数 $- 2 x$ が $- \infty$ に近づくので、数 $e^{- 2 x}$ が $0$ に近づきます。

$5 \frac{1}{1 + 4 \cdot 0}$

ステップ 3.3

答えを簡約します。

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ステップ 3.3.1

分母を簡約します。

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ステップ 3.3.1.1

$4$ に $0$ をかけます。

$5 \frac{1}{1 + 0}$

ステップ 3.3.1.2

$1$ と $0$ をたし算します。

$5 (\frac{1}{1})$

ステップ 3.3.2

$1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.2.1

共通因数を約分します。

$5 (\frac{1}{1})$

ステップ 3.3.2.2

式を書き換えます。

$5 \cdot 1$

ステップ 3.3.3

$5$ に $1$ をかけます。

$5$

ステップ 4

$lim_{x \to - \infty} \frac{5}{1 + 4 e^{- 2 x}}$ の値を求め水平漸近線を求めます。

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ステップ 4.1

$5$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$5 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{1 + 4 e^{- 2 x}}$

ステップ 4.2

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{1 + 4 e^{- 2 x}}$ は $0$ に近づきます。

$5 \cdot 0$

ステップ 4.3

$5$ に $0$ をかけます。

$0$

ステップ 5

水平漸近線のリスト：

$y = 5, 0$

ステップ 6

分子の次数が分母の次数以下なので、斜めの漸近線はありません。

斜めの漸近線がありません

ステップ 7

すべての漸近線の集合です。

垂直漸近線がありません

水平漸近線： $y = 5, 0$

斜めの漸近線がありません

ステップ 8

微分積分学準備 例

微分積分学準備例