微分積分学準備例

$f (x) = \frac{5 x^{3} - 4}{x^{2} + 4 x - 5}$

ステップ 1

式 $\frac{5 x^{3} - 4}{x^{2} + 4 x - 5}$ が未定義である場所を求めます。

$x = - 5, x = 1$

ステップ 2

$\frac{5 x^{3} - 4}{x^{2} + 4 x - 5}$ $\to$ $- \infty$ を左から $x$ $\to$ $- 5$ 、 $\frac{5 x^{3} - 4}{x^{2} + 4 x - 5}$ $\to$ $\infty$ を右から $x$ $\to$ $- 5$ としているので、 $x = - 5$ は垂直漸近線です。

$x = - 5$

ステップ 3

$\frac{5 x^{3} - 4}{x^{2} + 4 x - 5}$ $\to$ $- \infty$ を左から $x$ $\to$ $1$ 、 $\frac{5 x^{3} - 4}{x^{2} + 4 x - 5}$ $\to$ $\infty$ を右から $x$ $\to$ $1$ としているので、 $x = 1$ は垂直漸近線です。

$x = 1$

ステップ 4

すべての垂直漸近線のリスト：

$x = - 5, 1$

ステップ 5

$n$ が分子の次数、 $m$ が分母の次数である有理関数 $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ を考えます。

1. $n < m$ のとき、x軸 $y = 0$ は水平漸近線です。

2. $n = m$ のとき、水平漸近線は線 $y = \frac{a}{b}$ です。

3. $n > m$ のとき、水平漸近線はありません（斜めの漸近線があります）。

ステップ 6

$n$ と $m$ を求めます。

$n = 3$

$m = 2$

ステップ 7

$n > m$ なので、水平漸近線はありません。

水平漸近線がありません

ステップ 8

多項式の割り算を利用して斜めの漸近線を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

たすき掛けを利用して $x^{2} + 4 x - 5$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 5$ で、その和が $4$ です。

$- 1, 5$

ステップ 8.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$\frac{5 x^{3} - 4}{(x - 1) (x + 5)}$

ステップ 8.2

$(x - 1) (x + 5)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{5 x^{3} - 4}{x (x + 5) - 1 (x + 5)}$

ステップ 8.2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{5 x^{3} - 4}{x \cdot x + x \cdot 5 - 1 (x + 5)}$

ステップ 8.2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{5 x^{3} - 4}{x \cdot x + x \cdot 5 - 1 x - 1 \cdot 5}$

ステップ 8.2.4

$x$ と $5$ を並べ替えます。

$\frac{5 x^{3} - 4}{x \cdot x + 5 x - 1 x - 1 \cdot 5}$

ステップ 8.2.5

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{5 x^{3} - 4}{x \cdot x + 5 x - 1 x - 1 \cdot 5}$

ステップ 8.2.6

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{5 x^{3} - 4}{x \cdot x + 5 x - 1 x - 1 \cdot 5}$

ステップ 8.2.7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{5 x^{3} - 4}{x^{1 + 1} + 5 x - 1 x - 1 \cdot 5}$

ステップ 8.2.8

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{5 x^{3} - 4}{x^{2} + 5 x - 1 x - 1 \cdot 5}$

ステップ 8.2.9

$- 1$ に $5$ をかけます。

$\frac{5 x^{3} - 4}{x^{2} + 5 x - 1 x - 5}$

ステップ 8.2.10

$5 x$ から $1 x$ を引きます。

$\frac{5 x^{3} - 4}{x^{2} + 4 x - 5}$

ステップ 8.3

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

ステップ 8.4

被除数 $5 x^{3}$ の最高次項を除数 $x^{2}$ の最高次項で割ります。

$5 x$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

ステップ 8.5

新しい商の項に除数を掛けます。

$5 x$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$5 x^{3}$

$20 x^{2}$

$25 x$

ステップ 8.6

式は被除数から引く必要があるので、 $5 x^{3} + 20 x^{2} - 25 x$ の符号をすべて変更します。

$5 x$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$5 x^{3}$

$20 x^{2}$

$25 x$

ステップ 8.7

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$5 x$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$5 x^{3}$

$20 x^{2}$

$25 x$

$20 x^{2}$

$25 x$

ステップ 8.8

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

$5 x$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$5 x^{3}$

$20 x^{2}$

$25 x$

$20 x^{2}$

$25 x$

$4$

ステップ 8.9

被除数 $- 20 x^{2}$ の最高次項を除数 $x^{2}$ の最高次項で割ります。

						$5 x$	-	$20$
$x^{2}$	+	$4 x$	-	$5$		$5 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
					-	$5 x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$25 x$
							-	$20 x^{2}$	+	$25 x$	-	$4$

ステップ 8.10

新しい商の項に除数を掛けます。

						$5 x$	-	$20$
$x^{2}$	+	$4 x$	-	$5$		$5 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
					-	$5 x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$25 x$
							-	$20 x^{2}$	+	$25 x$	-	$4$
							-	$20 x^{2}$	-	$80 x$	+	$100$

ステップ 8.11

式は被除数から引く必要があるので、 $- 20 x^{2} - 80 x + 100$ の符号をすべて変更します。

$5 x$

$20$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$5 x^{3}$

$20 x^{2}$

$25 x$

$20 x^{2}$

$25 x$

$4$

$20 x^{2}$

$80 x$

$100$

ステップ 8.12

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

						$5 x$	-	$20$
$x^{2}$	+	$4 x$	-	$5$		$5 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
					-	$5 x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$25 x$
							-	$20 x^{2}$	+	$25 x$	-	$4$
							+	$20 x^{2}$	+	$80 x$	-	$100$
									+	$105 x$	-	$104$

ステップ 8.13

最終的な答えは商と除数の余りを足したものです。

$5 x - 20 + \frac{105 x - 104}{x^{2} + 4 x - 5}$

ステップ 8.14

斜めの漸近線は、筆算での除算の結果の多項式部分です。

$y = 5 x - 20$

ステップ 9

すべての漸近線の集合です。

垂直漸近線： $x = - 5, 1$

水平漸近線がありません

斜めの漸近線： $y = 5 x - 20$

ステップ 10

微分積分学準備 例

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