微分積分学準備例

$y = \sqrt{25 - x^{2}}$

ステップ 1

方程式を $\sqrt{25 - x^{2}} = y$ として書き換えます。

$\sqrt{25 - x^{2}} = y$

ステップ 2

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${\sqrt{25 - x^{2}}}^{2} = y^{2}$

ステップ 3

方程式の各辺を簡約します。

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ステップ 3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{25 - x^{2}}$ を ${(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${({(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = y^{2}$

ステップ 3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

${({(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

${({(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = y^{2}$

ステップ 3.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = y^{2}$

ステップ 3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(25 - x^{2})}^{1} = y^{2}$

ステップ 3.2.1.2

簡約します。

$25 - x^{2} = y^{2}$

ステップ 4

$x$ について解きます。

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ステップ 4.1

方程式の両辺から $25$ を引きます。

$- x^{2} = y^{2} - 25$

ステップ 4.2

$- x^{2} = y^{2} - 25$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.2.1

$- x^{2} = y^{2} - 25$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{y^{2}}{- 1} + \frac{- 25}{- 1}$

ステップ 4.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{y^{2}}{- 1} + \frac{- 25}{- 1}$

ステップ 4.2.2.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{y^{2}}{- 1} + \frac{- 25}{- 1}$

ステップ 4.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.2.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.3.1.1

$\frac{y^{2}}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$x^{2} = - 1 \cdot y^{2} + \frac{- 25}{- 1}$

ステップ 4.2.3.1.2

$- 1 \cdot y^{2}$ を $- y^{2}$ に書き換えます。

$x^{2} = - y^{2} + \frac{- 25}{- 1}$

ステップ 4.2.3.1.3

$- 25$ を $- 1$ で割ります。

$x^{2} = - y^{2} + 25$

ステップ 4.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- y^{2} + 25}$

ステップ 4.4

$\pm \sqrt{- y^{2} + 25}$ を簡約します。

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ステップ 4.4.1

式を簡約します。

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ステップ 4.4.1.1

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- y^{2} + 5^{2}}$

ステップ 4.4.1.2

$- y^{2}$ と $5^{2}$ を並べ替えます。

$x = \pm \sqrt{5^{2} - y^{2}}$

ステップ 4.4.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 5$ であり、 $b = y$ です。

$x = \pm \sqrt{(5 + y) (5 - y)}$

ステップ 4.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 4.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \sqrt{(5 + y) (5 - y)}$

ステップ 4.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \sqrt{(5 + y) (5 - y)}$

ステップ 4.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \sqrt{(5 + y) (5 - y)}$

$x = - \sqrt{(5 + y) (5 - y)}$

$x = \sqrt{(5 + y) (5 - y)}$

$x = - \sqrt{(5 + y) (5 - y)}$

$x = \sqrt{(5 + y) (5 - y)}$

$x = - \sqrt{(5 + y) (5 - y)}$

微分積分学準備 例

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