微分積分学準備例

$\frac{x^{6} - 8}{x - \sqrt{2}}$

ステップ 1

分子を簡約します。

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ステップ 1.1

$x^{6}$ を ${(x^{2})}^{3}$ に書き換えます。

$\frac{{(x^{2})}^{3} - 8}{x - \sqrt{2}}$

ステップ 1.2

$8$ を $2^{3}$ に書き換えます。

$\frac{{(x^{2})}^{3} - 2^{3}}{x - \sqrt{2}}$

ステップ 1.3

両項とも完全立方なので、立方の差の公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x^{2}$ であり、 $b = 2$ です。

$\frac{(x^{2} - 2) ({(x^{2})}^{2} + x^{2} \cdot 2 + 2^{2})}{x - \sqrt{2}}$

ステップ 1.4

簡約します。

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ステップ 1.4.1

${(x^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.4.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{(x^{2} - 2) (x^{2 \cdot 2} + x^{2} \cdot 2 + 2^{2})}{x - \sqrt{2}}$

ステップ 1.4.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{(x^{2} - 2) (x^{4} + x^{2} \cdot 2 + 2^{2})}{x - \sqrt{2}}$

ステップ 1.4.2

$2$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$\frac{(x^{2} - 2) (x^{4} + 2 \cdot x^{2} + 2^{2})}{x - \sqrt{2}}$

ステップ 1.4.3

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{(x^{2} - 2) (x^{4} + 2 x^{2} + 4)}{x - \sqrt{2}}$

ステップ 2

$\frac{(x^{2} - 2) (x^{4} + 2 x^{2} + 4)}{x - \sqrt{2}}$ に $\frac{x + \sqrt{2}}{x + \sqrt{2}}$ をかけます。

$\frac{(x^{2} - 2) (x^{4} + 2 x^{2} + 4)}{x - \sqrt{2}} \cdot \frac{x + \sqrt{2}}{x + \sqrt{2}}$

ステップ 3

項を簡約します。

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ステップ 3.1

$\frac{(x^{2} - 2) (x^{4} + 2 x^{2} + 4)}{x - \sqrt{2}}$ に $\frac{x + \sqrt{2}}{x + \sqrt{2}}$ をかけます。

$\frac{(x^{2} - 2) (x^{4} + 2 x^{2} + 4) (x + \sqrt{2})}{(x - \sqrt{2}) (x + \sqrt{2})}$

ステップ 3.2

FOIL法を使って分母を展開します。

$\frac{(x^{2} - 2) (x^{4} + 2 x^{2} + 4) (x + \sqrt{2})}{x^{2} + x \sqrt{2} - \sqrt{2} x - {\sqrt{2}}^{2}}$

ステップ 3.3

簡約します。

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ステップ 3.3.1

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

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ステップ 3.3.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{(x^{2} - 2) (x^{4} + 2 x^{2} + 4) (x + \sqrt{2})}{x^{2} - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 3.3.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{(x^{2} - 2) (x^{4} + 2 x^{2} + 4) (x + \sqrt{2})}{x^{2} - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 3.3.1.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{(x^{2} - 2) (x^{4} + 2 x^{2} + 4) (x + \sqrt{2})}{x^{2} - 2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 3.3.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.1.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{(x^{2} - 2) (x^{4} + 2 x^{2} + 4) (x + \sqrt{2})}{x^{2} - 2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 3.3.1.4.2

式を書き換えます。

$\frac{(x^{2} - 2) (x^{4} + 2 x^{2} + 4) (x + \sqrt{2})}{x^{2} - 2^{1}}$

ステップ 3.3.1.5

指数を求めます。

$\frac{(x^{2} - 2) (x^{4} + 2 x^{2} + 4) (x + \sqrt{2})}{x^{2} - 1 \cdot 2}$

ステップ 3.3.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{(x^{2} - 2) (x^{4} + 2 x^{2} + 4) (x + \sqrt{2})}{x^{2} - 2}$

ステップ 3.4

$x^{2} - 2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{(x^{2} - 2) (x^{4} + 2 x^{2} + 4) (x + \sqrt{2})}{x^{2} - 2}$

ステップ 3.4.2

$(x^{4} + 2 x^{2} + 4) (x + \sqrt{2})$ を $1$ で割ります。

$(x^{4} + 2 x^{2} + 4) (x + \sqrt{2})$

ステップ 4

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(x^{4} + 2 x^{2} + 4) (x + \sqrt{2})$ を展開します。

$x^{4} x + x^{4} \sqrt{2} + 2 x^{2} x + 2 x^{2} \sqrt{2} + 4 x + 4 \sqrt{2}$

ステップ 5

各項を簡約します。

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ステップ 5.1

指数を足して $x^{4}$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 5.1.1

$x^{4}$ に $x$ をかけます。

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ステップ 5.1.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$x^{4} x^{1} + x^{4} \sqrt{2} + 2 x^{2} x + 2 x^{2} \sqrt{2} + 4 x + 4 \sqrt{2}$

ステップ 5.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x^{4 + 1} + x^{4} \sqrt{2} + 2 x^{2} x + 2 x^{2} \sqrt{2} + 4 x + 4 \sqrt{2}$

ステップ 5.1.2

$4$ と $1$ をたし算します。

$x^{5} + x^{4} \sqrt{2} + 2 x^{2} x + 2 x^{2} \sqrt{2} + 4 x + 4 \sqrt{2}$

ステップ 5.2

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 5.2.1

$x$ を移動させます。

$x^{5} + x^{4} \sqrt{2} + 2 (x \cdot x^{2}) + 2 x^{2} \sqrt{2} + 4 x + 4 \sqrt{2}$

ステップ 5.2.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

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ステップ 5.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$x^{5} + x^{4} \sqrt{2} + 2 (x^{1} x^{2}) + 2 x^{2} \sqrt{2} + 4 x + 4 \sqrt{2}$

ステップ 5.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x^{5} + x^{4} \sqrt{2} + 2 x^{1 + 2} + 2 x^{2} \sqrt{2} + 4 x + 4 \sqrt{2}$

ステップ 5.2.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$x^{5} + x^{4} \sqrt{2} + 2 x^{3} + 2 x^{2} \sqrt{2} + 4 x + 4 \sqrt{2}$

微分積分学準備 例

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