微分積分学準備例

$\frac{\frac{1}{3} x^{3} - \frac{2}{9} x^{2} + \frac{2}{27} x - \frac{1}{81}}{x - \frac{1}{3}}$

ステップ 1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $81$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$\frac{\frac{1}{3} x^{3} - \frac{2}{9} x^{2} + \frac{2}{27} x - \frac{1}{81}}{x - \frac{1}{3}}$ に $\frac{81}{81}$ をかけます。

$\frac{81}{81} \cdot \frac{\frac{1}{3} x^{3} - \frac{2}{9} x^{2} + \frac{2}{27} x - \frac{1}{81}}{x - \frac{1}{3}}$

ステップ 1.2

まとめる。

$\frac{81 (\frac{1}{3} x^{3} - \frac{2}{9} x^{2} + \frac{2}{27} x - \frac{1}{81})}{81 (x - \frac{1}{3})}$

ステップ 2

分配則を当てはめます。

$\frac{81 (\frac{1}{3} x^{3}) + 81 (- \frac{2}{9} x^{2}) + 81 (\frac{2}{27} x) + 81 (- \frac{1}{81})}{81 x + 81 (- \frac{1}{3})}$

ステップ 3

約分で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$81$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

$- \frac{1}{81}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{81 (\frac{1}{3} x^{3}) + 81 (- \frac{2}{9} x^{2}) + 81 (\frac{2}{27} x) + 81 (\frac{- 1}{81})}{81 x + 81 (- \frac{1}{3})}$

ステップ 3.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{81 (\frac{1}{3} x^{3}) + 81 (- \frac{2}{9} x^{2}) + 81 (\frac{2}{27} x) + 81 (\frac{- 1}{81})}{81 x + 81 (- \frac{1}{3})}$

ステップ 3.1.3

式を書き換えます。

$\frac{81 (\frac{1}{3} x^{3}) + 81 (- \frac{2}{9} x^{2}) + 81 (\frac{2}{27} x) - 1}{81 x + 81 (- \frac{1}{3})}$

ステップ 3.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$- \frac{1}{3}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{81 (\frac{1}{3} x^{3}) + 81 (- \frac{2}{9} x^{2}) + 81 (\frac{2}{27} x) - 1}{81 x + 81 (\frac{- 1}{3})}$

ステップ 3.2.2

$3$ を $81$ で因数分解します。

$\frac{81 (\frac{1}{3} x^{3}) + 81 (- \frac{2}{9} x^{2}) + 81 (\frac{2}{27} x) - 1}{81 x + 3 (27) \frac{- 1}{3}}$

ステップ 3.2.3

共通因数を約分します。

$\frac{81 (\frac{1}{3} x^{3}) + 81 (- \frac{2}{9} x^{2}) + 81 (\frac{2}{27} x) - 1}{81 x + 3 \cdot 27 \frac{- 1}{3}}$

ステップ 3.2.4

式を書き換えます。

$\frac{81 (\frac{1}{3} x^{3}) + 81 (- \frac{2}{9} x^{2}) + 81 (\frac{2}{27} x) - 1}{81 x + 27 \cdot - 1}$

ステップ 3.3

$27$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{81 (\frac{1}{3} x^{3}) + 81 (- \frac{2}{9} x^{2}) + 81 (\frac{2}{27} x) - 1}{81 x - 27}$

ステップ 4

分子を簡約します。

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ステップ 4.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.1

$3$ を $81$ で因数分解します。

$\frac{3 (27) \frac{1}{3} x^{3} + 81 (- \frac{2}{9} x^{2}) + 81 (\frac{2}{27}) x - 1}{81 x - 27}$

ステップ 4.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{3 \cdot 27 \frac{1}{3} x^{3} + 81 (- \frac{2}{9} x^{2}) + 81 (\frac{2}{27}) x - 1}{81 x - 27}$

ステップ 4.1.3

式を書き換えます。

$\frac{27 x^{3} + 81 (- \frac{2}{9} x^{2}) + 81 (\frac{2}{27}) x - 1}{81 x - 27}$

ステップ 4.2

$x^{2}$ と $\frac{2}{9}$ をまとめます。

$\frac{27 x^{3} + 81 (- \frac{x^{2} \cdot 2}{9}) + 81 (\frac{2}{27}) x - 1}{81 x - 27}$

ステップ 4.3

$9$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.1

$- \frac{x^{2} \cdot 2}{9}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{27 x^{3} + 81 \frac{- x^{2} \cdot 2}{9} + 81 (\frac{2}{27}) x - 1}{81 x - 27}$

ステップ 4.3.2

$9$ を $81$ で因数分解します。

$\frac{27 x^{3} + 9 (9) \frac{- x^{2} \cdot 2}{9} + 81 (\frac{2}{27}) x - 1}{81 x - 27}$

ステップ 4.3.3

共通因数を約分します。

$\frac{27 x^{3} + 9 \cdot 9 \frac{- x^{2} \cdot 2}{9} + 81 (\frac{2}{27}) x - 1}{81 x - 27}$

ステップ 4.3.4

式を書き換えます。

$\frac{27 x^{3} + 9 (- x^{2} \cdot 2) + 81 (\frac{2}{27}) x - 1}{81 x - 27}$

ステップ 4.4

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{27 x^{3} + 9 (- 2 x^{2}) + 81 (\frac{2}{27}) x - 1}{81 x - 27}$

ステップ 4.5

$- 2$ に $9$ をかけます。

$\frac{27 x^{3} - 18 x^{2} + 81 (\frac{2}{27}) x - 1}{81 x - 27}$

ステップ 4.6

$27$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.6.1

$27$ を $81$ で因数分解します。

$\frac{27 x^{3} - 18 x^{2} + 27 (3) \frac{2}{27} x - 1}{81 x - 27}$

ステップ 4.6.2

共通因数を約分します。

$\frac{27 x^{3} - 18 x^{2} + 27 \cdot 3 \frac{2}{27} x - 1}{81 x - 27}$

ステップ 4.6.3

式を書き換えます。

$\frac{27 x^{3} - 18 x^{2} + 3 \cdot 2 x - 1}{81 x - 27}$

ステップ 4.7

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{27 x^{3} - 18 x^{2} + 6 x - 1}{81 x - 27}$

ステップ 4.8

有理根検定を用いて $27 x^{3} - 18 x^{2} + 6 x - 1$ を因数分解します。

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ステップ 4.8.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 27, \pm 3, \pm 9$

ステップ 4.8.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 0.\overline{037}, \pm 0.\overline{3}, \pm 0.\overline{1}$

ステップ 4.8.3

$0.\overline{3}$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $0.\overline{3}$ は多項式の根です。

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ステップ 4.8.3.1

$0.\overline{3}$ を多項式に代入します。

$27 \cdot {0.\overline{3}}^{3} - 18 \cdot {0.\overline{3}}^{2} + 6 \cdot 0.\overline{3} - 1$

ステップ 4.8.3.2

$0.\overline{3}$ を $3$ 乗します。

$27 \cdot 0.\overline{037} - 18 \cdot {0.\overline{3}}^{2} + 6 \cdot 0.\overline{3} - 1$

ステップ 4.8.3.3

$27$ に $0.\overline{037}$ をかけます。

$1 - 18 \cdot {0.\overline{3}}^{2} + 6 \cdot 0.\overline{3} - 1$

ステップ 4.8.3.4

$0.\overline{3}$ を $2$ 乗します。

$1 - 18 \cdot 0.\overline{1} + 6 \cdot 0.\overline{3} - 1$

ステップ 4.8.3.5

$- 18$ に $0.\overline{1}$ をかけます。

$1 - 2 + 6 \cdot 0.\overline{3} - 1$

ステップ 4.8.3.6

$1$ から $2$ を引きます。

$- 1 + 6 \cdot 0.\overline{3} - 1$

ステップ 4.8.3.7

$6$ に $0.\overline{3}$ をかけます。

$- 1 + 2 - 1$

ステップ 4.8.3.8

$- 1$ と $2$ をたし算します。

$1 - 1$

ステップ 4.8.3.9

$1$ から $1$ を引きます。

$0$

ステップ 4.8.4

$0.\overline{3}$ は既知の根なので、多項式を $3 x - 1$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{27 x^{3} - 18 x^{2} + 6 x - 1}{3 x - 1}$

ステップ 4.8.5

$27 x^{3} - 18 x^{2} + 6 x - 1$ を $3 x - 1$ で割ります。

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ステップ 4.8.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$3 x$

$1$

$27 x^{3}$

$18 x^{2}$

$6 x$

$1$

ステップ 4.8.5.2

被除数 $27 x^{3}$ の最高次項を除数 $3 x$ の最高次項で割ります。

					$9 x^{2}$
	$3 x$	-	$1$		$27 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$

ステップ 4.8.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$9 x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$27 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			+	$27 x^{3}$	-	$9 x^{2}$

ステップ 4.8.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $27 x^{3} - 9 x^{2}$ の符号をすべて変更します。

				$9 x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$27 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$27 x^{3}$	+	$9 x^{2}$

ステップ 4.8.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$9 x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$27 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$27 x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$

ステップ 4.8.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$9 x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$27 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$27 x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$6 x$

ステップ 4.8.5.7

被除数 $- 9 x^{2}$ の最高次項を除数 $3 x$ の最高次項で割ります。

				$9 x^{2}$	-	$3 x$
$3 x$	-	$1$		$27 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$27 x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$6 x$

ステップ 4.8.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$9 x^{2}$	-	$3 x$
$3 x$	-	$1$		$27 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$27 x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$6 x$
					-	$9 x^{2}$	+	$3 x$

ステップ 4.8.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $- 9 x^{2} + 3 x$ の符号をすべて変更します。

				$9 x^{2}$	-	$3 x$
$3 x$	-	$1$		$27 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$27 x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$3 x$

ステップ 4.8.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$9 x^{2}$	-	$3 x$
$3 x$	-	$1$		$27 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$27 x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$3 x$
							+	$3 x$

ステップ 4.8.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$9 x^{2}$	-	$3 x$
$3 x$	-	$1$		$27 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$27 x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$3 x$
							+	$3 x$	-	$1$

ステップ 4.8.5.12

被除数 $3 x$ の最高次項を除数 $3 x$ の最高次項で割ります。

				$9 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
$3 x$	-	$1$		$27 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$27 x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$3 x$
							+	$3 x$	-	$1$

ステップ 4.8.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

				$9 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
$3 x$	-	$1$		$27 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$27 x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$3 x$
							+	$3 x$	-	$1$
							+	$3 x$	-	$1$

ステップ 4.8.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $3 x - 1$ の符号をすべて変更します。

				$9 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
$3 x$	-	$1$		$27 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$27 x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$3 x$
							+	$3 x$	-	$1$
							-	$3 x$	+	$1$

ステップ 4.8.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$9 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
$3 x$	-	$1$		$27 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$27 x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$3 x$
							+	$3 x$	-	$1$
							-	$3 x$	+	$1$
										$0$

ステップ 4.8.5.16

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$9 x^{2} - 3 x + 1$

ステップ 4.8.6

$27 x^{3} - 18 x^{2} + 6 x - 1$ を因数の集合として書き換えます。

$\frac{(3 x - 1) (9 x^{2} - 3 x + 1)}{81 x - 27}$

ステップ 5

$27$ を $81 x - 27$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$27$ を $81 x$ で因数分解します。

$\frac{(3 x - 1) (9 x^{2} - 3 x + 1)}{27 (3 x) - 27}$

ステップ 5.2

$27$ を $- 27$ で因数分解します。

$\frac{(3 x - 1) (9 x^{2} - 3 x + 1)}{27 (3 x) + 27 (- 1)}$

ステップ 5.3

$27$ を $27 (3 x) + 27 (- 1)$ で因数分解します。

$\frac{(3 x - 1) (9 x^{2} - 3 x + 1)}{27 (3 x - 1)}$

ステップ 6

$3 x - 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

共通因数を約分します。

$\frac{(3 x - 1) (9 x^{2} - 3 x + 1)}{27 (3 x - 1)}$

ステップ 6.2

式を書き換えます。

$\frac{9 x^{2} - 3 x + 1}{27}$

ステップ 7

分数 $\frac{9 x^{2} - 3 x + 1}{27}$ を2つの分数に分割します。

$\frac{9 x^{2} - 3 x}{27} + \frac{1}{27}$

ステップ 8

分数 $\frac{9 x^{2} - 3 x}{27}$ を2つの分数に分割します。

$\frac{9 x^{2}}{27} + \frac{- 3 x}{27} + \frac{1}{27}$

ステップ 9

$9$ と $27$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

$9$ を $9 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{9 (x^{2})}{27} + \frac{- 3 x}{27} + \frac{1}{27}$

ステップ 9.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

$9$ を $27$ で因数分解します。

$\frac{9 x^{2}}{9 \cdot 3} + \frac{- 3 x}{27} + \frac{1}{27}$

ステップ 9.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{9 x^{2}}{9 \cdot 3} + \frac{- 3 x}{27} + \frac{1}{27}$

ステップ 9.2.3

式を書き換えます。

$\frac{x^{2}}{3} + \frac{- 3 x}{27} + \frac{1}{27}$

ステップ 10

$- 3$ と $27$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

$3$ を $- 3 x$ で因数分解します。

$\frac{x^{2}}{3} + \frac{3 (- x)}{27} + \frac{1}{27}$

ステップ 10.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1

$3$ を $27$ で因数分解します。

$\frac{x^{2}}{3} + \frac{3 (- x)}{3 (9)} + \frac{1}{27}$

ステップ 10.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{x^{2}}{3} + \frac{3 (- x)}{3 \cdot 9} + \frac{1}{27}$

ステップ 10.2.3

式を書き換えます。

$\frac{x^{2}}{3} + \frac{- x}{9} + \frac{1}{27}$

ステップ 11

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{x^{2}}{3} - \frac{x}{9} + \frac{1}{27}$

微分積分学準備 例

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