微分積分学準備例

$4 x^{2} = 10 x - 9$

ステップ 1

方程式の両辺から $10 x$ を引きます。

$4 x^{2} - 10 x = - 9$

ステップ 2

$4 x^{2} - 10 x = - 9$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.1

$4 x^{2} - 10 x = - 9$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 x^{2}}{4} + \frac{- 10 x}{4} = \frac{- 9}{4}$

ステップ 2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.1.1

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 x^{2}}{4} + \frac{- 10 x}{4} = \frac{- 9}{4}$

ステップ 2.2.1.1.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} + \frac{- 10 x}{4} = \frac{- 9}{4}$

ステップ 2.2.1.2

$- 10$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.1.2.1

$2$ を $- 10 x$ で因数分解します。

$x^{2} + \frac{2 (- 5 x)}{4} = \frac{- 9}{4}$

ステップ 2.2.1.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.1.2.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$x^{2} + \frac{2 (- 5 x)}{2 (2)} = \frac{- 9}{4}$

ステップ 2.2.1.2.2.2

共通因数を約分します。

$x^{2} + \frac{2 (- 5 x)}{2 \cdot 2} = \frac{- 9}{4}$

ステップ 2.2.1.2.2.3

式を書き換えます。

$x^{2} + \frac{- 5 x}{2} = \frac{- 9}{4}$

ステップ 2.2.1.3

分数の前に負数を移動させます。

$x^{2} - \frac{5 x}{2} = \frac{- 9}{4}$

ステップ 2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x^{2} - \frac{5 x}{2} = - \frac{9}{4}$

ステップ 3

式の左辺に3項式の2乗を作るために、 $b$ の半分の2乗に等しい値を求めます。

${(\frac{b}{2})}^{2} = {(- \frac{5}{4})}^{2}$

ステップ 4

方程式の各辺に項を加えます。

$x^{2} - \frac{5 x}{2} + {(- \frac{5}{4})}^{2} = - \frac{9}{4} + {(- \frac{5}{4})}^{2}$

ステップ 5

方程式を簡約します。

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ステップ 5.1

左辺を簡約します。

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ステップ 5.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.1.1.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

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ステップ 5.1.1.1.1

積の法則を $- \frac{5}{4}$ に当てはめます。

$x^{2} - \frac{5 x}{2} + {(- 1)}^{2} {(\frac{5}{4})}^{2} = - \frac{9}{4} + {(- \frac{5}{4})}^{2}$

ステップ 5.1.1.1.2

積の法則を $\frac{5}{4}$ に当てはめます。

$x^{2} - \frac{5 x}{2} + {(- 1)}^{2} \frac{5^{2}}{4^{2}} = - \frac{9}{4} + {(- \frac{5}{4})}^{2}$

ステップ 5.1.1.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$x^{2} - \frac{5 x}{2} + 1 \frac{5^{2}}{4^{2}} = - \frac{9}{4} + {(- \frac{5}{4})}^{2}$

ステップ 5.1.1.3

$\frac{5^{2}}{4^{2}}$ に $1$ をかけます。

$x^{2} - \frac{5 x}{2} + \frac{5^{2}}{4^{2}} = - \frac{9}{4} + {(- \frac{5}{4})}^{2}$

ステップ 5.1.1.4

$5$ を $2$ 乗します。

$x^{2} - \frac{5 x}{2} + \frac{25}{4^{2}} = - \frac{9}{4} + {(- \frac{5}{4})}^{2}$

ステップ 5.1.1.5

$4$ を $2$ 乗します。

$x^{2} - \frac{5 x}{2} + \frac{25}{16} = - \frac{9}{4} + {(- \frac{5}{4})}^{2}$

ステップ 5.2

右辺を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$- \frac{9}{4} + {(- \frac{5}{4})}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

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ステップ 5.2.1.1.1.1

積の法則を $- \frac{5}{4}$ に当てはめます。

$x^{2} - \frac{5 x}{2} + \frac{25}{16} = - \frac{9}{4} + {(- 1)}^{2} {(\frac{5}{4})}^{2}$

ステップ 5.2.1.1.1.2

積の法則を $\frac{5}{4}$ に当てはめます。

$x^{2} - \frac{5 x}{2} + \frac{25}{16} = - \frac{9}{4} + {(- 1)}^{2} \frac{5^{2}}{4^{2}}$

ステップ 5.2.1.1.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$x^{2} - \frac{5 x}{2} + \frac{25}{16} = - \frac{9}{4} + 1 \frac{5^{2}}{4^{2}}$

ステップ 5.2.1.1.3

$\frac{5^{2}}{4^{2}}$ に $1$ をかけます。

$x^{2} - \frac{5 x}{2} + \frac{25}{16} = - \frac{9}{4} + \frac{5^{2}}{4^{2}}$

ステップ 5.2.1.1.4

$5$ を $2$ 乗します。

$x^{2} - \frac{5 x}{2} + \frac{25}{16} = - \frac{9}{4} + \frac{25}{4^{2}}$

ステップ 5.2.1.1.5

$4$ を $2$ 乗します。

$x^{2} - \frac{5 x}{2} + \frac{25}{16} = - \frac{9}{4} + \frac{25}{16}$

ステップ 5.2.1.2

$- \frac{9}{4}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$x^{2} - \frac{5 x}{2} + \frac{25}{16} = - \frac{9}{4} \cdot \frac{4}{4} + \frac{25}{16}$

ステップ 5.2.1.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $16$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 5.2.1.3.1

$\frac{9}{4}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$x^{2} - \frac{5 x}{2} + \frac{25}{16} = - \frac{9 \cdot 4}{4 \cdot 4} + \frac{25}{16}$

ステップ 5.2.1.3.2

$4$ に $4$ をかけます。

$x^{2} - \frac{5 x}{2} + \frac{25}{16} = - \frac{9 \cdot 4}{16} + \frac{25}{16}$

ステップ 5.2.1.4

公分母の分子をまとめます。

$x^{2} - \frac{5 x}{2} + \frac{25}{16} = \frac{- 9 \cdot 4 + 25}{16}$

ステップ 5.2.1.5

分子を簡約します。

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ステップ 5.2.1.5.1

$- 9$ に $4$ をかけます。

$x^{2} - \frac{5 x}{2} + \frac{25}{16} = \frac{- 36 + 25}{16}$

ステップ 5.2.1.5.2

$- 36$ と $25$ をたし算します。

$x^{2} - \frac{5 x}{2} + \frac{25}{16} = \frac{- 11}{16}$

ステップ 5.2.1.6

分数の前に負数を移動させます。

$x^{2} - \frac{5 x}{2} + \frac{25}{16} = - \frac{11}{16}$

ステップ 6

${(x - \frac{5}{4})}^{2}$ に完全3項平方を因数分解します。

${(x - \frac{5}{4})}^{2} = - \frac{11}{16}$

ステップ 7

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 7.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x - \frac{5}{4} = \pm \sqrt{- \frac{11}{16}}$

ステップ 7.2

$\pm \sqrt{- \frac{11}{16}}$ を簡約します。

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ステップ 7.2.1

$- \frac{11}{16}$ を ${(\frac{i}{4})}^{2} \cdot 11$ に書き換えます。

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ステップ 7.2.1.1

$- 1$ を $i^{2}$ に書き換えます。

$x - \frac{5}{4} = \pm \sqrt{i^{2} \frac{11}{16}}$

ステップ 7.2.1.2

$11$ から完全累乗 $1^{2}$ を因数分解します。

$x - \frac{5}{4} = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2} \cdot 11}{16}}$

ステップ 7.2.1.3

$16$ から完全累乗 $4^{2}$ を因数分解します。

$x - \frac{5}{4} = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2} \cdot 11}{4^{2} \cdot 1}}$

ステップ 7.2.1.4

分数 $\frac{1^{2} \cdot 11}{4^{2} \cdot 1}$ を並べ替えます。

$x - \frac{5}{4} = \pm \sqrt{i^{2} ({(\frac{1}{4})}^{2} \cdot 11)}$

ステップ 7.2.1.5

$i^{2} {(\frac{1}{4})}^{2}$ を ${(\frac{i}{4})}^{2}$ に書き換えます。

$x - \frac{5}{4} = \pm \sqrt{{(\frac{i}{4})}^{2} \cdot 11}$

ステップ 7.2.2

累乗根の下から項を取り出します。

$x - \frac{5}{4} = \pm \frac{i}{4} \sqrt{11}$

ステップ 7.2.3

$\frac{i}{4}$ と $\sqrt{11}$ をまとめます。

$x - \frac{5}{4} = \pm \frac{i \sqrt{11}}{4}$

ステップ 7.3

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 7.3.1

方程式の両辺に $\frac{5}{4}$ を足します。

$x = \pm \frac{i \sqrt{11}}{4} + \frac{5}{4}$

ステップ 7.3.2

$\pm \frac{i \sqrt{11}}{4}$ と $\frac{5}{4}$ を並べ替えます。

$x = \frac{5}{4} \pm \frac{i \sqrt{11}}{4}$

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