微分積分学準備例

$7 \sin^{2} (x) - 14 \sin (x) + 2 = - 5$

ステップ 1

$u$ を $\sin (x)$ に代入します。

$7 {(u)}^{2} - 14 u + 2 = - 5$

ステップ 2

方程式の両辺に $5$ を足します。

$7 u^{2} - 14 u + 2 + 5 = 0$

ステップ 3

$2$ と $5$ をたし算します。

$7 u^{2} - 14 u + 7 = 0$

ステップ 4

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 4.1

$7$ を $7 u^{2} - 14 u + 7$ で因数分解します。

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ステップ 4.1.1

$7$ を $7 u^{2}$ で因数分解します。

$7 u^{2} - 14 u + 7 = 0$

ステップ 4.1.2

$7$ を $- 14 u$ で因数分解します。

$7 u^{2} + 7 (- 2 u) + 7 = 0$

ステップ 4.1.3

$7$ を $7$ で因数分解します。

$7 u^{2} + 7 (- 2 u) + 7 (1) = 0$

ステップ 4.1.4

$7$ を $7 u^{2} + 7 (- 2 u)$ で因数分解します。

$7 (u^{2} - 2 u) + 7 (1) = 0$

ステップ 4.1.5

$7$ を $7 (u^{2} - 2 u) + 7 (1)$ で因数分解します。

$7 (u^{2} - 2 u + 1) = 0$

ステップ 4.2

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 4.2.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$7 (u^{2} - 2 u + 1^{2}) = 0$

ステップ 4.2.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

ステップ 4.2.3

多項式を書き換えます。

$7 (u^{2} - 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

ステップ 4.2.4

$a = u$ と $b = 1$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$7 {(u - 1)}^{2} = 0$

ステップ 5

$7 {(u - 1)}^{2} = 0$ の各項を $7$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.1

$7 {(u - 1)}^{2} = 0$ の各項を $7$ で割ります。

$\frac{7 {(u - 1)}^{2}}{7} = \frac{0}{7}$

ステップ 5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$7$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{7 {(u - 1)}^{2}}{7} = \frac{0}{7}$

ステップ 5.2.1.2

${(u - 1)}^{2}$ を $1$ で割ります。

${(u - 1)}^{2} = \frac{0}{7}$

ステップ 5.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.1

$0$ を $7$ で割ります。

${(u - 1)}^{2} = 0$

ステップ 6

$u - 1$ が $0$ に等しいとします。

$u - 1 = 0$

ステップ 7

方程式の両辺に $1$ を足します。

$u = 1$

ステップ 8

$\sin (x)$ を $u$ に代入します。

$\sin (x) = 1$

ステップ 9

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arcsin (1)$

ステップ 10

右辺を簡約します。

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ステップ 10.1

$\arcsin (1)$ の厳密値は $\frac{π}{2}$ です。

$x = \frac{π}{2}$

ステップ 11

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$x = π - \frac{π}{2}$

ステップ 12

$π - \frac{π}{2}$ を簡約します。

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ステップ 12.1

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 12.2

分数をまとめます。

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ステップ 12.2.1

$π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 12.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

ステップ 12.3

分子を簡約します。

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ステップ 12.3.1

$2$ を $π$ の左に移動させます。

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

ステップ 12.3.2

$2 π$ から $π$ を引きます。

$x = \frac{π}{2}$

ステップ 13

$\sin (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 13.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 13.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 13.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 13.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 14

$\sin (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 15

微分積分学準備 例

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