微分積分学準備例

$x^{4} + 2 x^{2} + 1$

ステップ 1

$x^{4} + 2 x^{2} + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x^{4} + 2 x^{2} + 1 = 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

$u = x^{2}$ を方程式に代入します。これにより二次方程式の解の公式を利用しやすくします。

$u^{2} + 2 u + 1 = 0$

$u = x^{2}$

ステップ 2.2

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 2.2.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$u^{2} + 2 u + 1^{2} = 0$

ステップ 2.2.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

ステップ 2.2.3

多項式を書き換えます。

$u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2} = 0$

ステップ 2.2.4

$a = u$ と $b = 1$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

${(u + 1)}^{2} = 0$

ステップ 2.3

$u + 1$ が $0$ に等しいとします。

$u + 1 = 0$

ステップ 2.4

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$u = - 1$

ステップ 2.5

$u = x^{2}$ の実数を解いた方程式に代入して戻します。

$x^{2} = - 1$

ステップ 2.6

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 2.6.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

ステップ 2.6.2

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \pm i$

ステップ 2.6.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 2.6.3.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = i$

ステップ 2.6.3.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - i$

ステップ 2.6.3.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = i, - i$

ステップ 3

微分積分学準備 例

微分積分学準備例