微分積分学準備例

$f (x) = - \cos (2 x) + \cos^{2} (x)$

ステップ 1

$- \cos (2 x) + \cos^{2} (x)$ が $0$ に等しいとします。

$- \cos (2 x) + \cos^{2} (x) = 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

2倍角の公式を利用して $\cos (2 x)$ を $1 - 2 \sin^{2} (x)$ に変換します。

$- (1 - 2 \sin^{2} (x)) + \cos^{2} (x) = 0$

ステップ 2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.2.1

$- (1 - 2 \sin^{2} (x)) + \cos^{2} (x)$ を簡約します。

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ステップ 2.2.1.1

項を簡約します。

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ステップ 2.2.1.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.1.1.1.1

分配則を当てはめます。

$- 1 \cdot 1 - (- 2 \sin^{2} (x)) + \cos^{2} (x) = 0$

ステップ 2.2.1.1.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 1 - (- 2 \sin^{2} (x)) + \cos^{2} (x) = 0$

ステップ 2.2.1.1.1.3

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$- 1 + 2 \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 0$

ステップ 2.2.1.1.2

くくりだして簡約します。

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ステップ 2.2.1.1.2.1

$\cos^{2} (x)$ を移動させます。

$- 1 + \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) = 0$

ステップ 2.2.1.1.2.2

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$- 1 (1) + \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) = 0$

ステップ 2.2.1.1.2.3

$- 1$ を $\cos^{2} (x)$ で因数分解します。

$- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x)) + 2 \sin^{2} (x) = 0$

ステップ 2.2.1.1.2.4

$- 1$ を $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))$ で因数分解します。

$- 1 (1 - \cos^{2} (x)) + 2 \sin^{2} (x) = 0$

ステップ 2.2.1.1.2.5

$- 1 (1 - \cos^{2} (x))$ を $- (1 - \cos^{2} (x))$ に書き換えます。

$- (1 - \cos^{2} (x)) + 2 \sin^{2} (x) = 0$

ステップ 2.2.1.2

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$- \sin^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) = 0$

ステップ 2.2.1.3

$- \sin^{2} (x)$ と $2 \sin^{2} (x)$ をたし算します。

$\sin^{2} (x) = 0$

ステップ 2.3

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 2.3.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$\sin (x) = \pm \sqrt{0}$

ステップ 2.3.2

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$\sin (x) = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 2.3.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\sin (x) = \pm 0$

ステップ 2.3.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$\sin (x) = 0$

ステップ 2.3.3

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arcsin (0)$

ステップ 2.3.4

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.4.1

$\arcsin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 2.3.5

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$x = π - 0$

ステップ 2.3.6

$π$ から $0$ を引きます。

$x = π$

ステップ 2.3.7

$\sin (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 2.3.7.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 2.3.7.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 2.3.7.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 2.3.7.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 2.3.8

$\sin (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 2 π n, π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 2.4

答えをまとめます。

$x = π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 3

微分積分学準備 例

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