微分積分学準備例

$p (x) = x^{3} - x^{2} - 21 x + 45$

ステップ 1

$x^{3} - x^{2} - 21 x + 45$ が $0$ に等しいとします。

$x^{3} - x^{2} - 21 x + 45 = 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.1.1

有理根検定を用いて $x^{3} - x^{2} - 21 x + 45$ を因数分解します。

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ステップ 2.1.1.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 45, \pm 3, \pm 15, \pm 5, \pm 9$

$q = \pm 1$

ステップ 2.1.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 45, \pm 3, \pm 15, \pm 5, \pm 9$

ステップ 2.1.1.3

$3$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $3$ は多項式の根です。

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ステップ 2.1.1.3.1

$3$ を多項式に代入します。

$3^{3} - 3^{2} - 21 \cdot 3 + 45$

ステップ 2.1.1.3.2

$3$ を $3$ 乗します。

$27 - 3^{2} - 21 \cdot 3 + 45$

ステップ 2.1.1.3.3

$3$ を $2$ 乗します。

$27 - 1 \cdot 9 - 21 \cdot 3 + 45$

ステップ 2.1.1.3.4

$- 1$ に $9$ をかけます。

$27 - 9 - 21 \cdot 3 + 45$

ステップ 2.1.1.3.5

$27$ から $9$ を引きます。

$18 - 21 \cdot 3 + 45$

ステップ 2.1.1.3.6

$- 21$ に $3$ をかけます。

$18 - 63 + 45$

ステップ 2.1.1.3.7

$18$ から $63$ を引きます。

$- 45 + 45$

ステップ 2.1.1.3.8

$- 45$ と $45$ をたし算します。

$0$

ステップ 2.1.1.4

$3$ は既知の根なので、多項式を $x - 3$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{x^{3} - x^{2} - 21 x + 45}{x - 3}$

ステップ 2.1.1.5

$x^{3} - x^{2} - 21 x + 45$ を $x - 3$ で割ります。

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ステップ 2.1.1.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

$3$

$x^{3}$

$x^{2}$

$21 x$

$45$

ステップ 2.1.1.5.2

被除数 $x^{3}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

					$x^{2}$
	$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$21 x$	+	$45$

ステップ 2.1.1.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$21 x$	+	$45$
			+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$

ステップ 2.1.1.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $x^{3} - 3 x^{2}$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$21 x$	+	$45$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$

ステップ 2.1.1.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$21 x$	+	$45$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$

ステップ 2.1.1.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$21 x$	+	$45$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$21 x$

ステップ 2.1.1.5.7

被除数 $2 x^{2}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$21 x$	+	$45$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$21 x$

ステップ 2.1.1.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$21 x$	+	$45$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$21 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$6 x$

ステップ 2.1.1.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $2 x^{2} - 6 x$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$21 x$	+	$45$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$21 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$

ステップ 2.1.1.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$21 x$	+	$45$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$21 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$15 x$

ステップ 2.1.1.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$21 x$	+	$45$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$21 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$15 x$	+	$45$

ステップ 2.1.1.5.12

被除数 $- 15 x$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$15$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$21 x$	+	$45$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$21 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$15 x$	+	$45$

ステップ 2.1.1.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$15$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$21 x$	+	$45$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$21 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$15 x$	+	$45$
							-	$15 x$	+	$45$

ステップ 2.1.1.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $- 15 x + 45$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$15$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$21 x$	+	$45$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$21 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$15 x$	+	$45$
							+	$15 x$	-	$45$

ステップ 2.1.1.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$15$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$21 x$	+	$45$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$21 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$15 x$	+	$45$
							+	$15 x$	-	$45$
										$0$

ステップ 2.1.1.5.16

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$x^{2} + 2 x - 15$

ステップ 2.1.1.6

$x^{3} - x^{2} - 21 x + 45$ を因数の集合として書き換えます。

$(x - 3) (x^{2} + 2 x - 15) = 0$

ステップ 2.1.2

たすき掛けを利用して $x^{2} + 2 x - 15$ を因数分解します。

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ステップ 2.1.2.1

たすき掛けを利用して $x^{2} + 2 x - 15$ を因数分解します。

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ステップ 2.1.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 15$ で、その和が $2$ です。

$- 3, 5$

ステップ 2.1.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x - 3) ((x - 3) (x + 5)) = 0$

ステップ 2.1.2.2

不要な括弧を削除します。

$(x - 3) (x - 3) (x + 5) = 0$

ステップ 2.1.3

同類因数をまとめます

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ステップ 2.1.3.1

$x - 3$ を $1$ 乗します。

$(x - 3) (x - 3) (x + 5) = 0$

ステップ 2.1.3.2

$x - 3$ を $1$ 乗します。

$(x - 3) (x - 3) (x + 5) = 0$

ステップ 2.1.3.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

${(x - 3)}^{1 + 1} (x + 5) = 0$

ステップ 2.1.3.4

$1$ と $1$ をたし算します。

${(x - 3)}^{2} (x + 5) = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

${(x - 3)}^{2} = 0$

$x + 5 = 0$

ステップ 2.3

${(x - 3)}^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.3.1

${(x - 3)}^{2}$ が $0$ に等しいとします。

${(x - 3)}^{2} = 0$

ステップ 2.3.2

$x$ について ${(x - 3)}^{2} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.3.2.1

$x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x - 3 = 0$

ステップ 2.3.2.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 2.4

$x + 5$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

$x + 5$ が $0$ に等しいとします。

$x + 5 = 0$

ステップ 2.4.2

方程式の両辺から $5$ を引きます。

$x = - 5$

ステップ 2.5

最終解は ${(x - 3)}^{2} (x + 5) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 3, - 5$

ステップ 3

微分積分学準備 例

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