微分積分学準備例

$f (x) = 4 x^{4} - 21 x^{2} + 5$

ステップ 1

$4 x^{4} - 21 x^{2} + 5$ が $0$ に等しいとします。

$4 x^{4} - 21 x^{2} + 5 = 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

$u = x^{2}$ を方程式に代入します。これにより二次方程式の解の公式を利用しやすくします。

$4 u^{2} - 21 u + 5 = 0$

$u = x^{2}$

ステップ 2.2

群による因数分解。

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ステップ 2.2.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 4 \cdot 5 = 20$ で和が $b = - 21$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 2.2.1.1

$- 21$ を $- 21 u$ で因数分解します。

$4 u^{2} - 21 u + 5 = 0$

ステップ 2.2.1.2

$- 21$ を $- 1$ プラス $- 20$ に書き換える

$4 u^{2} + (- 1 - 20) u + 5 = 0$

ステップ 2.2.1.3

分配則を当てはめます。

$4 u^{2} - 1 u - 20 u + 5 = 0$

ステップ 2.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 2.2.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(4 u^{2} - 1 u) - 20 u + 5 = 0$

ステップ 2.2.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$u (4 u - 1) - 5 (4 u - 1) = 0$

ステップ 2.2.3

最大公約数 $4 u - 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(4 u - 1) (u - 5) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$4 u - 1 = 0$

$u - 5 = 0$

ステップ 2.4

$4 u - 1$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

$4 u - 1$ が $0$ に等しいとします。

$4 u - 1 = 0$

ステップ 2.4.2

$u$ について $4 u - 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.4.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$4 u = 1$

ステップ 2.4.2.2

$4 u = 1$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.4.2.2.1

$4 u = 1$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 u}{4} = \frac{1}{4}$

ステップ 2.4.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.4.2.2.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.4.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 u}{4} = \frac{1}{4}$

ステップ 2.4.2.2.2.1.2

$u$ を $1$ で割ります。

$u = \frac{1}{4}$

ステップ 2.5

$u - 5$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$u - 5$ が $0$ に等しいとします。

$u - 5 = 0$

ステップ 2.5.2

方程式の両辺に $5$ を足します。

$u = 5$

ステップ 2.6

最終解は $(4 u - 1) (u - 5) = 0$ を真にするすべての値です。

$u = \frac{1}{4}, 5$

ステップ 2.7

$u = x^{2}$ の実数を解いた方程式に代入して戻します。

$x^{2} = \frac{1}{4}$

${(x^{2})}^{1} = 5$

ステップ 2.8

$x$ について第1方程式を解きます。

$x^{2} = \frac{1}{4}$

ステップ 2.9

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 2.9.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

ステップ 2.9.2

$\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$ を簡約します。

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ステップ 2.9.2.1

$\sqrt{\frac{1}{4}}$ を $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ に書き換えます。

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

ステップ 2.9.2.2

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{4}}$

ステップ 2.9.2.3

分母を簡約します。

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ステップ 2.9.2.3.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

ステップ 2.9.2.3.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm \frac{1}{2}$

ステップ 2.9.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 2.9.3.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \frac{1}{2}$

ステップ 2.9.3.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \frac{1}{2}$

ステップ 2.9.3.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

ステップ 2.10

$x$ について二次方程式を解きます。

${(x^{2})}^{1} = 5$

ステップ 2.11

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 2.11.1

括弧を削除します。

$x^{2} = 5$

ステップ 2.11.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{5}$

ステップ 2.11.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 2.11.3.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \sqrt{5}$

ステップ 2.11.3.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \sqrt{5}$

ステップ 2.11.3.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

ステップ 2.12

$4 x^{4} - 21 x^{2} + 5 = 0$ の解は $x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, \sqrt{5}, - \sqrt{5}$ です。

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

ステップ 3

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

10進法形式：

$x = 0.5, - 0.5, 2.23606797 \dots, - 2.23606797 \dots$

ステップ 4

微分積分学準備 例

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