微分積分学準備例

$f (x) = 7 x^{4} + 49 x^{2} + 14$

ステップ 1

$7 x^{4} + 49 x^{2} + 14$ が $0$ に等しいとします。

$7 x^{4} + 49 x^{2} + 14 = 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

$u = x^{2}$ を方程式に代入します。これにより二次方程式の解の公式を利用しやすくします。

$7 u^{2} + 49 u + 14 = 0$

$u = x^{2}$

ステップ 2.2

$7$ を $7 u^{2} + 49 u + 14$ で因数分解します。

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ステップ 2.2.1

$7$ を $7 u^{2}$ で因数分解します。

$7 (u^{2}) + 49 u + 14 = 0$

ステップ 2.2.2

$7$ を $49 u$ で因数分解します。

$7 (u^{2}) + 7 (7 u) + 14 = 0$

ステップ 2.2.3

$7$ を $14$ で因数分解します。

$7 u^{2} + 7 (7 u) + 7 \cdot 2 = 0$

ステップ 2.2.4

$7$ を $7 u^{2} + 7 (7 u)$ で因数分解します。

$7 (u^{2} + 7 u) + 7 \cdot 2 = 0$

ステップ 2.2.5

$7$ を $7 (u^{2} + 7 u) + 7 \cdot 2$ で因数分解します。

$7 (u^{2} + 7 u + 2) = 0$

ステップ 2.3

$7 (u^{2} + 7 u + 2) = 0$ の各項を $7$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.3.1

$7 (u^{2} + 7 u + 2) = 0$ の各項を $7$ で割ります。

$\frac{7 (u^{2} + 7 u + 2)}{7} = \frac{0}{7}$

ステップ 2.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

$7$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{7 (u^{2} + 7 u + 2)}{7} = \frac{0}{7}$

ステップ 2.3.2.1.2

$u^{2} + 7 u + 2$ を $1$ で割ります。

$u^{2} + 7 u + 2 = \frac{0}{7}$

ステップ 2.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.3.1

$0$ を $7$ で割ります。

$u^{2} + 7 u + 2 = 0$

ステップ 2.4

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 2.5

$a = 1$ 、 $b = 7$ 、および $c = 2$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $u$ の値を求めます。

$\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.6

簡約します。

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ステップ 2.6.1

分子を簡約します。

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ステップ 2.6.1.1

$7$ を $2$ 乗します。

$u = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.6.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 2$ を掛けます。

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ステップ 2.6.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$u = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.6.1.2.2

$- 4$ に $2$ をかけます。

$u = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 8}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.6.1.3

$49$ から $8$ を引きます。

$u = \frac{- 7 \pm \sqrt{41}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.6.2

$2$ に $1$ をかけます。

$u = \frac{- 7 \pm \sqrt{41}}{2}$

ステップ 2.7

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$u = - \frac{7 - \sqrt{41}}{2}, - \frac{7 + \sqrt{41}}{2}$

ステップ 2.8

$u = x^{2}$ の実数を解いた方程式に代入して戻します。

$x^{2} = - 0.29843788$

${(x^{2})}^{1} = - 6.70156211$

ステップ 2.9

$x$ について第1方程式を解きます。

$x^{2} = - 0.29843788$

ステップ 2.10

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 2.10.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 0.29843788}$

ステップ 2.10.2

$\pm \sqrt{- 0.29843788}$ を簡約します。

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ステップ 2.10.2.1

$- 0.29843788$ を $- 1 (0.29843788)$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1 (0.29843788)}$

ステップ 2.10.2.2

$\sqrt{- 1 (0.29843788)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{0.29843788}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{0.29843788}$

ステップ 2.10.2.3

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \pm i \sqrt{0.29843788}$

ステップ 2.10.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 2.10.3.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = i \sqrt{0.29843788}$

ステップ 2.10.3.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - i \sqrt{0.29843788}$

ステップ 2.10.3.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = i \sqrt{0.29843788}, - i \sqrt{0.29843788}$

ステップ 2.11

$x$ について二次方程式を解きます。

${(x^{2})}^{1} = - 6.70156211$

ステップ 2.12

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 2.12.1

括弧を削除します。

$x^{2} = - 6.70156211$

ステップ 2.12.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 6.70156211}$

ステップ 2.12.3

$\pm \sqrt{- 6.70156211}$ を簡約します。

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ステップ 2.12.3.1

$- 6.70156211$ を $- 1 (6.70156211)$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1 (6.70156211)}$

ステップ 2.12.3.2

$\sqrt{- 1 (6.70156211)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{6.70156211}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{6.70156211}$

ステップ 2.12.3.3

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \pm i \sqrt{6.70156211}$

ステップ 2.12.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 2.12.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = i \sqrt{6.70156211}$

ステップ 2.12.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - i \sqrt{6.70156211}$

ステップ 2.12.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = i \sqrt{6.70156211}, - i \sqrt{6.70156211}$

ステップ 2.13

$7 x^{4} + 49 x^{2} + 14 = 0$ の解は $x = i \sqrt{0.29843788}, - i \sqrt{0.29843788}, i \sqrt{6.70156211}, - i \sqrt{6.70156211}$ です。

$x = i \sqrt{0.29843788}, - i \sqrt{0.29843788}, i \sqrt{6.70156211}, - i \sqrt{6.70156211}$

ステップ 3

微分積分学準備 例

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