微分積分学準備例

$f (x) = \frac{1}{4} \cdot (x^{3} (x^{2} - 9))$

ステップ 1

$\frac{1}{4} \cdot (x^{3} (x^{2} - 9))$ が $0$ に等しいとします。

$\frac{1}{4} \cdot (x^{3} (x^{2} - 9)) = 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

方程式の両辺に $4$ を掛けます。

$4 (\frac{1}{4} \cdot (x^{3} (x^{2} - 9))) = 4 \cdot 0$

ステップ 2.2

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 2.2.1

左辺を簡約します。

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ステップ 2.2.1.1

$4 (\frac{1}{4} \cdot (x^{3} (x^{2} - 9)))$ を簡約します。

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ステップ 2.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$4 (\frac{1}{4} \cdot (x^{3} x^{2} + x^{3} \cdot - 9)) = 4 \cdot 0$

ステップ 2.2.1.1.2

指数を足して $x^{3}$ に $x^{2}$ を掛けます。

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ステップ 2.2.1.1.2.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$4 (\frac{1}{4} \cdot (x^{3 + 2} + x^{3} \cdot - 9)) = 4 \cdot 0$

ステップ 2.2.1.1.2.2

$3$ と $2$ をたし算します。

$4 (\frac{1}{4} \cdot (x^{5} + x^{3} \cdot - 9)) = 4 \cdot 0$

ステップ 2.2.1.1.3

$- 9$ を $x^{3}$ の左に移動させます。

$4 (\frac{1}{4} \cdot (x^{5} - 9 \cdot x^{3})) = 4 \cdot 0$

ステップ 2.2.1.1.4

分配則を当てはめます。

$4 (\frac{1}{4} x^{5} + \frac{1}{4} (- 9 x^{3})) = 4 \cdot 0$

ステップ 2.2.1.1.5

$\frac{1}{4}$ と $x^{5}$ をまとめます。

$4 (\frac{x^{5}}{4} + \frac{1}{4} (- 9 x^{3})) = 4 \cdot 0$

ステップ 2.2.1.1.6

$\frac{1}{4} (- 9 x^{3})$ を掛けます。

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ステップ 2.2.1.1.6.1

$- 9$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$4 (\frac{x^{5}}{4} + \frac{- 9}{4} x^{3}) = 4 \cdot 0$

ステップ 2.2.1.1.6.2

$\frac{- 9}{4}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$4 (\frac{x^{5}}{4} + \frac{- 9 x^{3}}{4}) = 4 \cdot 0$

ステップ 2.2.1.1.7

分数の前に負数を移動させます。

$4 (\frac{x^{5}}{4} - \frac{9 x^{3}}{4}) = 4 \cdot 0$

ステップ 2.2.1.1.8

分配則を当てはめます。

$4 \frac{x^{5}}{4} + 4 (- \frac{9 x^{3}}{4}) = 4 \cdot 0$

ステップ 2.2.1.1.9

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.1.1.9.1

共通因数を約分します。

$4 \frac{x^{5}}{4} + 4 (- \frac{9 x^{3}}{4}) = 4 \cdot 0$

ステップ 2.2.1.1.9.2

式を書き換えます。

$x^{5} + 4 (- \frac{9 x^{3}}{4}) = 4 \cdot 0$

ステップ 2.2.1.1.10

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.1.1.10.1

$- \frac{9 x^{3}}{4}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$x^{5} + 4 \frac{- 9 x^{3}}{4} = 4 \cdot 0$

ステップ 2.2.1.1.10.2

共通因数を約分します。

$x^{5} + 4 \frac{- 9 x^{3}}{4} = 4 \cdot 0$

ステップ 2.2.1.1.10.3

式を書き換えます。

$x^{5} - 9 x^{3} = 4 \cdot 0$

ステップ 2.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 2.2.2.1

$4$ に $0$ をかけます。

$x^{5} - 9 x^{3} = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.3.1

$x^{3}$ を $x^{5} - 9 x^{3}$ で因数分解します。

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ステップ 2.3.1.1

$x^{3}$ を $x^{5}$ で因数分解します。

$x^{3} x^{2} - 9 x^{3} = 0$

ステップ 2.3.1.2

$x^{3}$ を $- 9 x^{3}$ で因数分解します。

$x^{3} x^{2} + x^{3} \cdot - 9 = 0$

ステップ 2.3.1.3

$x^{3}$ を $x^{3} x^{2} + x^{3} \cdot - 9$ で因数分解します。

$x^{3} (x^{2} - 9) = 0$

ステップ 2.3.2

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$x^{3} (x^{2} - 3^{2}) = 0$

ステップ 2.3.3

因数分解。

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ステップ 2.3.3.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 3$ です。

$x^{3} ((x + 3) (x - 3)) = 0$

ステップ 2.3.3.2

不要な括弧を削除します。

$x^{3} (x + 3) (x - 3) = 0$

ステップ 2.4

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x^{3} = 0$

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

ステップ 2.5

$x^{3}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$x^{3}$ が $0$ に等しいとします。

$x^{3} = 0$

ステップ 2.5.2

$x$ について $x^{3} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.5.2.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \sqrt[3]{0}$

ステップ 2.5.2.2

$\sqrt[3]{0}$ を簡約します。

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ステップ 2.5.2.2.1

$0$ を $0^{3}$ に書き換えます。

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

ステップ 2.5.2.2.2

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = 0$

ステップ 2.6

$x + 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.6.1

$x + 3$ が $0$ に等しいとします。

$x + 3 = 0$

ステップ 2.6.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$x = - 3$

ステップ 2.7

$x - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.7.1

$x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x - 3 = 0$

ステップ 2.7.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 2.8

最終解は $x^{3} (x + 3) (x - 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, - 3, 3$

ステップ 3

微分積分学準備 例

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