微分積分学準備例

$f (x) = x^{4} - 2 x^{3} - 15 x^{2} + 18 x + 54$

ステップ 1

$x^{4} - 2 x^{3} - 15 x^{2} + 18 x + 54$ が $0$ に等しいとします。

$x^{4} - 2 x^{3} - 15 x^{2} + 18 x + 54 = 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.1.1

項を再分類します。

$- 2 x^{3} + 18 x + x^{4} - 15 x^{2} + 54 = 0$

ステップ 2.1.2

$- 2 x$ を $- 2 x^{3} + 18 x$ で因数分解します。

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ステップ 2.1.2.1

$- 2 x$ を $- 2 x^{3}$ で因数分解します。

$- 2 x \cdot x^{2} + 18 x + x^{4} - 15 x^{2} + 54 = 0$

ステップ 2.1.2.2

$- 2 x$ を $18 x$ で因数分解します。

$- 2 x \cdot x^{2} - 2 x \cdot - 9 + x^{4} - 15 x^{2} + 54 = 0$

ステップ 2.1.2.3

$- 2 x$ を $- 2 x (x^{2}) - 2 x (- 9)$ で因数分解します。

$- 2 x (x^{2} - 9) + x^{4} - 15 x^{2} + 54 = 0$

ステップ 2.1.3

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$- 2 x (x^{2} - 3^{2}) + x^{4} - 15 x^{2} + 54 = 0$

ステップ 2.1.4

因数分解。

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ステップ 2.1.4.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 3$ です。

$- 2 x ((x + 3) (x - 3)) + x^{4} - 15 x^{2} + 54 = 0$

ステップ 2.1.4.2

不要な括弧を削除します。

$- 2 x (x + 3) (x - 3) + x^{4} - 15 x^{2} + 54 = 0$

ステップ 2.1.5

$x^{4}$ を ${(x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$- 2 x (x + 3) (x - 3) + {(x^{2})}^{2} - 15 x^{2} + 54 = 0$

ステップ 2.1.6

$u = x^{2}$ とします。 $u$ を $x^{2}$ に代入します。

$- 2 x (x + 3) (x - 3) + u^{2} - 15 u + 54 = 0$

ステップ 2.1.7

たすき掛けを利用して $u^{2} - 15 u + 54$ を因数分解します。

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ステップ 2.1.7.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $54$ で、その和が $- 15$ です。

$- 9, - 6$

ステップ 2.1.7.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$- 2 x (x + 3) (x - 3) + (u - 9) (u - 6) = 0$

ステップ 2.1.8

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$- 2 x (x + 3) (x - 3) + (x^{2} - 9) (x^{2} - 6) = 0$

ステップ 2.1.9

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$- 2 x (x + 3) (x - 3) + (x^{2} - 3^{2}) (x^{2} - 6) = 0$

ステップ 2.1.10

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 3$ です。

$- 2 x (x + 3) (x - 3) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 6) = 0$

ステップ 2.1.11

$(x + 3) (x - 3)$ を $- 2 x (x + 3) (x - 3) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 6)$ で因数分解します。

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ステップ 2.1.11.1

$(x + 3) (x - 3)$ を $- 2 x (x + 3) (x - 3)$ で因数分解します。

$(x + 3) (x - 3) (- 2 x) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 6) = 0$

ステップ 2.1.11.2

$(x + 3) (x - 3)$ を $(x + 3) (x - 3) (- 2 x) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 6)$ で因数分解します。

$(x + 3) (x - 3) (- 2 x + x^{2} - 6) = 0$

ステップ 2.1.12

項を並べ替えます。

$(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 2 x - 6) = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

$x^{2} - 2 x - 6 = 0$

ステップ 2.3

$x + 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.3.1

$x + 3$ が $0$ に等しいとします。

$x + 3 = 0$

ステップ 2.3.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$x = - 3$

ステップ 2.4

$x - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

$x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x - 3 = 0$

ステップ 2.4.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 2.5

$x^{2} - 2 x - 6$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$x^{2} - 2 x - 6$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} - 2 x - 6 = 0$

ステップ 2.5.2

$x$ について $x^{2} - 2 x - 6 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.5.2.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 2.5.2.2

$a = 1$ 、 $b = - 2$ 、および $c = - 6$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 6)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3

簡約します。

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ステップ 2.5.2.3.1

分子を簡約します。

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ステップ 2.5.2.3.1.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 6$ を掛けます。

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ステップ 2.5.2.3.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.1.2.2

$- 4$ に $- 6$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 24}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.1.3

$4$ と $24$ をたし算します。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.1.4

$28$ を $2^{2} \cdot 7$ に書き換えます。

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ステップ 2.5.2.3.1.4.1

$4$ を $28$ で因数分解します。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$

ステップ 2.5.2.3.3

$\frac{2 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$ を簡約します。

$x = 1 \pm \sqrt{7}$

ステップ 2.5.2.4

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = 1 + \sqrt{7}, 1 - \sqrt{7}$

ステップ 2.6

最終解は $(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 2 x - 6) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 3, 3, 1 + \sqrt{7}, 1 - \sqrt{7}$

ステップ 3

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$x = - 3, 3, 1 + \sqrt{7}, 1 - \sqrt{7}$

10進法形式：

$x = - 3, 3, 3.64575131 \dots, - 1.64575131 \dots$

ステップ 4

微分積分学準備 例

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