微分積分学準備例

$f (x) = - 2 x^{3} + 6 x^{2} - \frac{9}{2} x$

ステップ 1

$- 2 x^{3} + 6 x^{2} - \frac{9}{2} x$ が $0$ に等しいとします。

$- 2 x^{3} + 6 x^{2} - \frac{9}{2} x = 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.1.1

$x$ と $\frac{9}{2}$ をまとめます。

$- 2 x^{3} + 6 x^{2} - \frac{x \cdot 9}{2} = 0$

ステップ 2.1.2

$9$ を $x$ の左に移動させます。

$- 2 x^{3} + 6 x^{2} - \frac{9 x}{2} = 0$

ステップ 2.2

$- x$ を $- 2 x^{3} + 6 x^{2} - \frac{9 x}{2}$ で因数分解します。

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ステップ 2.2.1

$- x$ を $- 2 x^{3}$ で因数分解します。

$- x (2 x^{2}) + 6 x^{2} - \frac{9 x}{2} = 0$

ステップ 2.2.2

$- x$ を $6 x^{2}$ で因数分解します。

$- x (2 x^{2}) - x (- 6 x) - \frac{9 x}{2} = 0$

ステップ 2.2.3

$- x$ を $- \frac{9 x}{2}$ で因数分解します。

$- x (2 x^{2}) - x (- 6 x) - x \frac{9}{2} = 0$

ステップ 2.2.4

$- x$ を $- x (2 x^{2}) - x (- 6 x)$ で因数分解します。

$- x (2 x^{2} - 6 x) - x \frac{9}{2} = 0$

ステップ 2.2.5

$- x$ を $- x (2 x^{2} - 6 x) - x (\frac{9}{2})$ で因数分解します。

$- x (2 x^{2} - 6 x + \frac{9}{2}) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$2 x^{2} - 6 x + \frac{9}{2} = 0$

ステップ 2.4

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 2.5

$2 x^{2} - 6 x + \frac{9}{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$2 x^{2} - 6 x + \frac{9}{2}$ が $0$ に等しいとします。

$2 x^{2} - 6 x + \frac{9}{2} = 0$

ステップ 2.5.2

$x$ について $2 x^{2} - 6 x + \frac{9}{2} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.5.2.1

両辺に最小公分母 $2$ を掛け、次に簡約します。

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ステップ 2.5.2.1.1

分配則を当てはめます。

$2 (2 x^{2}) + 2 (- 6 x) + 2 (\frac{9}{2}) = 0$

ステップ 2.5.2.1.2

簡約します。

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ステップ 2.5.2.1.2.1

$2$ に $2$ をかけます。

$4 x^{2} + 2 (- 6 x) + 2 (\frac{9}{2}) = 0$

ステップ 2.5.2.1.2.2

$- 6$ に $2$ をかけます。

$4 x^{2} - 12 x + 2 (\frac{9}{2}) = 0$

ステップ 2.5.2.1.2.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.5.2.1.2.3.1

共通因数を約分します。

$4 x^{2} - 12 x + 2 (\frac{9}{2}) = 0$

ステップ 2.5.2.1.2.3.2

式を書き換えます。

$4 x^{2} - 12 x + 9 = 0$

ステップ 2.5.2.2

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 2.5.2.3

$a = 4$ 、 $b = - 12$ 、および $c = 9$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot 9)}}{2 \cdot 4}$

ステップ 2.5.2.4

簡約します。

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ステップ 2.5.2.4.1

分子を簡約します。

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ステップ 2.5.2.4.1.1

$- 12$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 4 \cdot 9}}{2 \cdot 4}$

ステップ 2.5.2.4.1.2

$- 4 \cdot 4 \cdot 9$ を掛けます。

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ステップ 2.5.2.4.1.2.1

$- 4$ に $4$ をかけます。

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 16 \cdot 9}}{2 \cdot 4}$

ステップ 2.5.2.4.1.2.2

$- 16$ に $9$ をかけます。

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 144}}{2 \cdot 4}$

ステップ 2.5.2.4.1.3

$144$ から $144$ を引きます。

$x = \frac{12 \pm \sqrt{0}}{2 \cdot 4}$

ステップ 2.5.2.4.1.4

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{12 \pm \sqrt{0^{2}}}{2 \cdot 4}$

ステップ 2.5.2.4.1.5

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{12 \pm 0}{2 \cdot 4}$

ステップ 2.5.2.4.1.6

$12$ プラスマイナス $0$ は $12$ です。

$x = \frac{12}{2 \cdot 4}$

ステップ 2.5.2.4.2

$2$ に $4$ をかけます。

$x = \frac{12}{8}$

ステップ 2.5.2.4.3

$12$ と $8$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.5.2.4.3.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$x = \frac{4 (3)}{8}$

ステップ 2.5.2.4.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.5.2.4.3.2.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$x = \frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 2}$

ステップ 2.5.2.4.3.2.2

共通因数を約分します。

$x = \frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 2}$

ステップ 2.5.2.4.3.2.3

式を書き換えます。

$x = \frac{3}{2}$

ステップ 2.5.2.5

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = \frac{3}{2}$ 2乗根

ステップ 2.6

最終解は $- x (2 x^{2} - 6 x + \frac{9}{2}) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, \frac{3}{2}$

ステップ 3

微分積分学準備 例

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